Дано f(x)=5x+1/x-4. Найдите f(x+2)-f(x+6)

Зададим \( f(x) = \frac{5x + 1}{x - 4} \). Необходимо найти \( f(x+2) - f(x+6) \).

1. Сначала найдём \( f(x+2) \):
\[
f(x+2) = \frac{5(x+2) + 1}{(x+2) - 4} = \frac{5x + 10 + 1}{x - 2} = \frac{5x + 11}{x - 2}
\]

2. Теперь найдём \( f(x+6) \):
\[
f(x+6) = \frac{5(x+6) + 1}{(x+6) - 4} = \frac{5x + 30 + 1}{x + 2} = \frac{5x + 31}{x + 2}
\]

3. Вычтем \( f(x+6) \) из \( f(x+2) \):
\[
f(x+2) - f(x+6) = \frac{5x + 11}{x - 2} - \frac{5x + 31}{x + 2}
\]

Приведём дроби к общему знаменателю:
\[
f(x+2) - f(x+6) = \frac{(5x + 11)(x + 2) - (5x + 31)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Раскроем скобки в числителе:
\[
(5x + 11)(x + 2) = 5x^2 + 10x + 11x + 22 = 5x^2 + 21x + 22
\]
\[
(5x + 31)(x - 2) = 5x^2 - 10x + 31x - 62 = 5x^2 + 21x - 62
\]

Теперь вычислим разность числителей:
\[
(5x^2 + 21x + 22) - (5x^2 + 21x - 62) = 5x^2 + 21x + 22 - 5x^2 - 21x + 62 = 84
\]

Итак, выражение становится:
\[
f(x+2) - f(x+6) = \frac{84}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Таким образом, ответ:
\[
f(x+2) - f(x+6) = \frac{84}{x^2 - 4}
\]

Хотите подробнее разобрать шаги или есть вопросы?

Вот 5 вопросов для дальнейшего изучения:
1. Как привести дроби к общему знаменателю?
2. Что происходит при раскрытии скобок в числителе?
3. Как работает метод разности квадратов в знаменателе?
4. Какие свойства рациональных функций можно использовать при анализе этого примера?
5. Как изменится результат, если функция будет другой, например, \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \)?

**Совет**: При работе с рациональными функциями полезно помнить о возможных разрывах в точках, где знаменатель равен нулю.

Learn how to solve the rational function f(x)=5x+1/(x-4) and find f(x+2)-f(x+6) using algebraic concepts like simplification of rational expressions and the difference of squares theorem. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation