Una torta de pierna cuesta tres veces lo que un taco de guisado. Si la suma de los cuadrados del precio de la torta y el taco es 250. ¿Cuánto cuesta la torta y cuánto el taco?

Sea \( x \) el precio del taco de guisado y \( y \) el precio de la torta de pierna. Según el problema, tenemos las siguientes dos ecuaciones:

1. \( y = 3x \)  (la torta cuesta tres veces lo que cuesta el taco)
2. \( x^2 + y^2 = 250 \)  (la suma de los cuadrados del precio de la torta y el taco es 250)

**Paso 1: Sustitución**

Usamos la primera ecuación para sustituir \( y \) en la segunda ecuación:

\[
x^2 + (3x)^2 = 250
\]

**Paso 2: Expansión**

Expandimos el término \( (3x)^2 \):

\[
x^2 + 9x^2 = 250
\]

**Paso 3: Suma de términos semejantes**

Sumamos los términos semejantes:

\[
10x^2 = 250
\]

**Paso 4: Despejar \( x^2 \)**

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 10:

\[
x^2 = 25
\]

**Paso 5: Resolver para \( x \)**

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

\[
x = \sqrt{25}
\]

\[
x = 5
\]

Entonces, el precio del taco de guisado es \( 5 \) unidades monetarias.

**Paso 6: Calcular \( y \)**

Usamos la primera ecuación para calcular el precio de la torta:

\[
y = 3x = 3(5) = 15
\]

Entonces, el precio de la torta de pierna es \( 15 \) unidades monetarias.

**Respuesta:**

- El taco cuesta \( 5 \) unidades monetarias.
- La torta cuesta \( 15 \) unidades monetarias.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se determina el valor absoluto al resolver ecuaciones cuadráticas?
2. ¿Qué ocurre si se obtiene una raíz negativa en la ecuación cuadrática?
3. ¿Cómo se relacionan las funciones cuadráticas con problemas de optimización?
4. ¿En qué otros problemas se utiliza la técnica de sustitución en sistemas de ecuaciones?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene este tipo de problemas en economía o finanzas?
6. ¿Cómo se verifica si una solución es válida para ambas ecuaciones en un sistema?
7. ¿Qué técnicas se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones no lineales?
8. ¿Cómo se puede generalizar este problema para otros múltiplos del precio del taco?

**Tip:** Cuando trabajas con sistemas de ecuaciones, la sustitución es una herramienta poderosa, especialmente cuando una de las ecuaciones es lineal.

Learn how to solve a problem involving the prices of torta and taco using algebraic methods. This problem covers the substitution method for solving systems of equations, focusing on quadratic equations. Suitable for students in Grades 7-9.

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