Um die Gleichung \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \) zu lösen, führen wir zunächst eine Substitution durch. Wir setzen \( y = x^2 \), wodurch die Gleichung vereinfacht wird zu:

\[
y^2 - 2y - 3 = 0
\]

Das ist eine quadratische Gleichung, die wir mit der Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel) lösen können:

\[
y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}
\]
\[
y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}
\]
\[
y = \frac{2 \pm 4}{2}
\]

Das gibt uns zwei Lösungen für \( y \):

1. \( y = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
2. \( y = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Da \( y = x^2 \), müssen wir nun die ursprüngliche Variable \( x \) zurückgewinnen:

1. \( x^2 = 3 \)  \(\Rightarrow x = \pm \sqrt{3}\)
2. \( x^2 = -1 \) hat keine reelle Lösung, da die Wurzel einer negativen Zahl in den reellen Zahlen nicht definiert ist (im komplexen Bereich wäre die Lösung \( x = \pm i \), aber hier betrachten wir nur reelle Lösungen).

Die reellen Lösungen der Gleichung sind also:

\[
x = \pm \sqrt{3}
\]

### Endergebnis:
Die reellen Lösungen der Gleichung \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \) sind:

\[
x = \sqrt{3} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{3}
\]

Möchtest du weitere Details oder hast du noch Fragen?

### Weitere Fragen:
1. Wie löst man quadratische Gleichungen mit der pq-Formel?
2. Welche Bedeutung hat der Imaginärteil bei Lösungen von Gleichungen?
3. Wie wendet man die Substitutionsmethode bei anderen Gleichungstypen an?
4. Was ist der Unterschied zwischen reellen und komplexen Zahlen?
5. Wie kann man den Betrag komplexer Zahlen berechnen?

**Tipp:** Beim Lösen von Gleichungen mit höheren Potenzen hilft die Substitution oft, um die Lösung zu vereinfachen.

Learn how to solve the polynomial equation x^4 - 2x^2 - 3 = 0 using the substitution method. This problem breaks down the process of solving higher-order equations by reducing them to quadratic form and applying the quadratic formula. Ideal for students in Grades 10-12.

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