Um die Gleichung $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$ zu lösen, führen wir zunächst eine Substitution durch. Wir setzen $y = x^2$, wodurch die Gleichung vereinfacht wird zu:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Das ist eine quadratische Gleichung, die wir mit der Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel) lösen können:

$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$ $y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$ $y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$ $y = \frac{2 \pm 4}{2}$

Das gibt uns zwei Lösungen für $y$:

1. $y = \frac{2 + 4}{2} = 3$
2. $y = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Da $y = x^2$, müssen wir nun die ursprüngliche Variable $x$ zurückgewinnen:

1. $x^2 = 3$ $\Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$
2. $x^2 = -1$ hat keine reelle Lösung, da die Wurzel einer negativen Zahl in den reellen Zahlen nicht definiert ist (im komplexen Bereich wäre die Lösung $x = \pm i$, aber hier betrachten wir nur reelle Lösungen).

Die reellen Lösungen der Gleichung sind also:

$x = \pm \sqrt{3}$

Endergebnis:

Die reellen Lösungen der Gleichung $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$ sind:

$x = \sqrt{3} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{3}$

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Weitere Fragen:

1. Wie löst man quadratische Gleichungen mit der pq-Formel?
2. Welche Bedeutung hat der Imaginärteil bei Lösungen von Gleichungen?
3. Wie wendet man die Substitutionsmethode bei anderen Gleichungstypen an?
4. Was ist der Unterschied zwischen reellen und komplexen Zahlen?
5. Wie kann man den Betrag komplexer Zahlen berechnen?

Tipp: Beim Lösen von Gleichungen mit höheren Potenzen hilft die Substitution oft, um die Lösung zu vereinfachen.