Résoudre dans R², le système suivant (xy plus x moins 2y est égal à 2) et xy² moins (x² moins 1) fois y, moins x est égal à 0

Nous devons résoudre le système d'équations suivant dans \(\mathbb{R}^2\) :

\[
\begin{cases}
xy + x - 2y = 2 \\
xy^2 - (x^2 - 1)y - x = 0
\end{cases}
\]

### 1. Première équation : 
\[
xy + x - 2y = 2
\]
Facteur commun entre les termes impliquant \(x\) :
\[
x(y + 1) - 2y = 2
\]
Nous obtenons ainsi l'équation :
\[
x(y + 1) = 2y + 2
\]
Soit :
\[
x = \frac{2(y + 1)}{y + 1} = 2
\]
Donc, dans la première équation, \(x = 2\).

### 2. Deuxième équation (avec \(x = 2\)) :
Substituons \(x = 2\) dans la deuxième équation :
\[
2y^2 - (2^2 - 1)y - 2 = 0
\]
Cela devient :
\[
2y^2 - (4 - 1)y - 2 = 0
\]
Soit :
\[
2y^2 - 3y - 2 = 0
\]

### 3. Résolution de l'équation quadratique :
Nous devons résoudre l'équation quadratique :
\[
2y^2 - 3y - 2 = 0
\]
Le discriminant \(\Delta\) est donné par :
\[
\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25
\]
Les solutions sont donc :
\[
y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm 5}{4}
\]
Soit :
\[
y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \quad \text{et} \quad y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}
\]

### 4. Solutions finales :
Les solutions du système sont donc :
- \(x = 2\), \(y = 2\)
- \(x = 2\), \(y = -\frac{1}{2}\)

### Conclusion :
Les solutions du système sont les couples \((2, 2)\) et \((2, -\frac{1}{2})\).

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?  

Voici 5 questions relatives à ce problème :

1. Comment factoriser l'expression d'une équation quadratique ?
2. Comment interpréter le discriminant d'une équation quadratique ?
3. Quelles sont les étapes de substitution dans un système d'équations non linéaires ?
4. Comment vérifier les solutions dans un système d'équations ?
5. Comment résoudre des systèmes d'équations avec des paramètres ?

**Astuce** : Pour résoudre des systèmes non linéaires, essayez toujours de simplifier une équation en termes d'une variable avant de substituer dans l'autre équation.

Learn how to solve the non-linear system of equations xy + x - 2y = 2 and xy² - (x² - 1)y - x = 0 with detailed step-by-step solutions. This problem involves algebraic concepts, such as solving quadratic equations and non-linear systems. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation