Pour résoudre ce système de trois équations avec deux inconnues ($A$ et $B$), commençons par écrire les équations données clairement :

1. $465A + 460B = 269365920$
2. $A + B = 580530$
3. $\frac{465A + 460B}{580530} = 464$

Étape 1 : Vérifions si la troisième équation est cohérente

En remplaçant $465A + 460B = 269365920$ dans la troisième équation :

$\frac{269365920}{580530} = 464$

Cela est correct, donc la troisième équation est redondante. Nous allons utiliser uniquement les deux premières équations.

Étape 2 : Substitution

De la deuxième équation, isolons $B$ :

$B = 580530 - A$

Substituons cette valeur de $B$ dans la première équation :

$465A + 460(580530 - A) = 269365920$

Étape 3 : Simplifions l'équation

Développons l’équation :

$465A + 460 \times 580530 - 460A = 269365920$

$465A - 460A + 266043800 = 269365920$

$5A + 266043800 = 269365920$

$5A = 269365920 - 266043800$

$5A = 3322120$

$A = \frac{3322120}{5} = 664424$

Étape 4 : Trouvons $B$

En remplaçant $A = 664424$ dans la deuxième équation :

$B = 580530 - 664424$

$B = -83894$

Solution

Les solutions du système sont :

$A = 664424, \quad B = -83894$

Vérification

1. $465A + 460B = 269365920$ :

$465 \times 664424 + 460 \times (-83894) = 309255360 - 39949440 = 269365920$

C’est correct.

2. $A + B = 580530$ :

$664424 - 83894 = 580530$

C’est correct.

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Astuce : Lorsque vous travaillez avec des systèmes d'équations, simplifiez-les autant que possible avant de résoudre pour éviter les erreurs.