selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan cara Crammer dan carilah
invers matriks serta adjoinnya:
2x2 - x2 + 3x3 = 1
3x1 + x2 - ×3 =2
x1 + 2x2 + 3x3 =-6

Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan **aturan Cramer**, mencari **invers matriks**, dan menghitung **adjoin**.

Sistem persamaan yang diberikan adalah:

\[
\begin{aligned}
2x_1 - x_2 + 3x_3 &= 1 \\
3x_1 + x_2 - x_3 &= 2 \\
x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= -6
\end{aligned}
\]

### 1. Representasi dalam bentuk matriks

Kita dapat menuliskan sistem ini dalam bentuk matriks:

\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}
\]

dengan:

\[
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -6 \end{bmatrix}
\]

### 2. Solusi dengan Aturan Cramer

Untuk menggunakan aturan Cramer, kita perlu menghitung determinan matriks **A** dan beberapa determinan matriks modifikasi.

#### a) Determinan matriks **A**:
\[
\text{Det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}
\]

Kita akan menghitung determinan ini.

#### b) Matriks-matriks untuk solusi **x_1**, **x_2**, dan **x_3**:

Matriks \( A_1 \) didapat dengan mengganti kolom pertama dari **A** dengan vektor **b**:
\[
A_1 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ -6 & 2 & 3 \end{bmatrix}
\]

Matriks \( A_2 \) didapat dengan mengganti kolom kedua dari **A** dengan vektor **b**:
\[
A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -6 & 3 \end{bmatrix}
\]

Matriks \( A_3 \) didapat dengan mengganti kolom ketiga dari **A** dengan vektor **b**:
\[
A_3 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -6 \end{bmatrix}
\]

#### c) Solusi:

Dengan aturan Cramer, solusinya diberikan oleh:
\[
x_1 = \frac{\text{Det}(A_1)}{\text{Det}(A)}, \quad x_2 = \frac{\text{Det}(A_2)}{\text{Det}(A)}, \quad x_3 = \frac{\text{Det}(A_3)}{\text{Det}(A)}
\]

Sekarang, kita hitung semua determinan ini.

### 3. Invers Matriks **A**

Invers dari matriks **A** dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{Det}(A)} \cdot \text{adjoin}(A)
\]

Adjoin dari matriks **A** adalah matriks kofaktor dari **A** yang ditranspos.

Sekarang, mari kita hitung langkah-langkah di atas secara detail.### Hasil perhitungan:

1. **Determinan matriks A**:
   \[
   \text{Det}(A) = 35
   \]

2. **Solusi menggunakan Aturan Cramer**:
   \[
   x_1 = 1, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -1
   \]

3. **Invers matriks A**:
   \[
   A^{-1} = \begin{bmatrix} 
   0.1429 & 0.2571 & -0.0571 \\
   -0.2857 & 0.0857 & 0.3143 \\
   0.1429 & -0.1429 & 0.1429 
   \end{bmatrix}
   \]

4. **Adjoin matriks A** (kofaktor yang ditranspos):
   \[
   \text{Adjoin}(A) = \begin{bmatrix} 
   5 & -10 & 5 \\
   9 & 3 & -5 \\
   -2 & 11 & 5 
   \end{bmatrix}
   \]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

### Pertanyaan tambahan:
1. Apa yang dimaksud dengan aturan Cramer dan bagaimana aplikasinya pada sistem persamaan linear?
2. Bagaimana cara menghitung adjoin dari sebuah matriks secara manual?
3. Bagaimana hubungan antara determinan dan invers matriks?
4. Mengapa matriks harus memiliki determinan yang tidak nol untuk memiliki invers?
5. Apa peran adjoin dalam menghitung invers suatu matriks?

**Tip:** Untuk sistem persamaan dengan matriks yang lebih besar, aturan Cramer menjadi kurang efisien, dan lebih baik menggunakan metode eliminasi Gauss atau invers langsung.

selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan cara Crammer dan carilah invers matriks serta adjoinnya:
2x1 - x2 + 3x3 = 1
3x1 + x2 - x3 = 2
x1 + 2x2 + 3x3 = -6

This guide explains how to solve a system of linear equations using Cramer's Rule, find the matrix inverse, and compute the adjoint of the matrix. The system of equations includes 2x1 - x2 + 3x3 = 1, 3x1 + x2 - x3 = 2, and x1 + 2x2 + 3x3 = -6. Learn step-by-step solutions, including determinant calculations, matrix theory concepts, and detailed examples.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation