Math Problem Statement
selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan cara Crammer dan carilah invers matriks serta adjoinnya: 2x2 - x2 + 3x3 = 1 3x1 + x2 - ×3 =2 x1 + 2x2 + 3x3 =-6
Solution
Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan aturan Cramer, mencari invers matriks, dan menghitung adjoin.
Sistem persamaan yang diberikan adalah:
2x_1 - x_2 + 3x_3 &= 1 \\ 3x_1 + x_2 - x_3 &= 2 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= -6 \end{aligned}$$ ### 1. Representasi dalam bentuk matriks Kita dapat menuliskan sistem ini dalam bentuk matriks: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}$$ dengan: $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -6 \end{bmatrix}$$ ### 2. Solusi dengan Aturan Cramer Untuk menggunakan aturan Cramer, kita perlu menghitung determinan matriks **A** dan beberapa determinan matriks modifikasi. #### a) Determinan matriks **A**: $$\text{Det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Kita akan menghitung determinan ini. #### b) Matriks-matriks untuk solusi **x_1**, **x_2**, dan **x_3**: Matriks $$A_1$$ didapat dengan mengganti kolom pertama dari **A** dengan vektor **b**: $$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ -6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$ Matriks $$A_2$$ didapat dengan mengganti kolom kedua dari **A** dengan vektor **b**: $$A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -6 & 3 \end{bmatrix}$$ Matriks $$A_3$$ didapat dengan mengganti kolom ketiga dari **A** dengan vektor **b**: $$A_3 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -6 \end{bmatrix}$$ #### c) Solusi: Dengan aturan Cramer, solusinya diberikan oleh: $$x_1 = \frac{\text{Det}(A_1)}{\text{Det}(A)}, \quad x_2 = \frac{\text{Det}(A_2)}{\text{Det}(A)}, \quad x_3 = \frac{\text{Det}(A_3)}{\text{Det}(A)}$$ Sekarang, kita hitung semua determinan ini. ### 3. Invers Matriks **A** Invers dari matriks **A** dapat dihitung dengan menggunakan rumus: $$A^{-1} = \frac{1}{\text{Det}(A)} \cdot \text{adjoin}(A)$$ Adjoin dari matriks **A** adalah matriks kofaktor dari **A** yang ditranspos. Sekarang, mari kita hitung langkah-langkah di atas secara detail.### Hasil perhitungan: 1. **Determinan matriks A**: $$\text{Det}(A) = 35$$ 2. **Solusi menggunakan Aturan Cramer**: $$x_1 = 1, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -1$$ 3. **Invers matriks A**: $$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.1429 & 0.2571 & -0.0571 \\ -0.2857 & 0.0857 & 0.3143 \\ 0.1429 & -0.1429 & 0.1429 \end{bmatrix}$$ 4. **Adjoin matriks A** (kofaktor yang ditranspos): $$\text{Adjoin}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -10 & 5 \\ 9 & 3 & -5 \\ -2 & 11 & 5 \end{bmatrix}$$ Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? ### Pertanyaan tambahan: 1. Apa yang dimaksud dengan aturan Cramer dan bagaimana aplikasinya pada sistem persamaan linear? 2. Bagaimana cara menghitung adjoin dari sebuah matriks secara manual? 3. Bagaimana hubungan antara determinan dan invers matriks? 4. Mengapa matriks harus memiliki determinan yang tidak nol untuk memiliki invers? 5. Apa peran adjoin dalam menghitung invers suatu matriks? **Tip:** Untuk sistem persamaan dengan matriks yang lebih besar, aturan Cramer menjadi kurang efisien, dan lebih baik menggunakan metode eliminasi Gauss atau invers langsung.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Matrix Theory
Cramer's Rule
Matrix Inversion
Adjoint
Formulas
Cramer's Rule: x_i = det(A_i) / det(A)
Matrix Inverse: A^(-1) = (1 / det(A)) * adj(A)
Adjoint Matrix: adj(A) = transpose(cofactor(A))
Theorems
Cramer's Rule
Determinant and Inverse Theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate Level
Related Recommendation
Solve a System of Linear Equations Using Cramer's Rule, Matrix Method, and Gaussian Elimination
Solving a System of Linear Equations Using Cramer's Rule, Matrix Inversion, and Gaussian Elimination
Solving a 3x3 System of Equations Using Cramer's Rule and Matrices
Solve a System of Linear Equations using Cramer's Rule
Solving a System of Linear Equations with Cramer's Rule, Inverse Matrix, and Gaussian Elimination