Vamos a resolver la ecuación en la variable $x$ que aparece en la imagen:

$\frac{ax}{a+b} + \frac{bx}{a-b} = 2a^2 - x$

Paso 1: Simplificación de la expresión del lado izquierdo

El lado izquierdo de la ecuación consiste en dos fracciones que vamos a sumar, utilizando el común denominador entre $(a + b)$ y $(a - b)$:

$\frac{ax}{a+b} + \frac{bx}{a-b} = \frac{ax(a-b) + bx(a+b)}{(a+b)(a-b)}$

Simplificamos el numerador:

$ax(a-b) + bx(a+b) = ax^2 - abx + bx^2 + abx$

Los términos $-abx$ y $+abx$ se cancelan, dejando:

$(ax + bx)x = x(a^2 + b^2)$

Entonces, el lado izquierdo de la ecuación se simplifica a:

$\frac{x(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$

Paso 2: Igualar los dos lados de la ecuación

Ahora tenemos la ecuación:

$\frac{x(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} = 2a^2 - x$

Multiplicamos ambos lados por $a^2 - b^2$ para eliminar el denominador:

$x(a^2 + b^2) = (2a^2 - x)(a^2 - b^2)$

Paso 3: Expansión del lado derecho

Expandimos el lado derecho:

$(2a^2 - x)(a^2 - b^2) = 2a^2(a^2 - b^2) - x(a^2 - b^2)$

Esto se convierte en:

$2a^4 - 2a^2b^2 - x(a^2 - b^2)$

Paso 4: Reorganización de la ecuación

Reorganizamos la ecuación resultante:

$x(a^2 + b^2) + x(a^2 - b^2) = 2a^4 - 2a^2b^2$

Sumamos los términos de $x$:

$x(2a^2) = 2a^4 - 2a^2b^2$

Finalmente, resolvemos para $x$:

$x = \frac{2a^2(a^2 - b^2)}{2a^2} = a^2 - b^2$

Conclusión:

La solución para $x$ es $x = a^2 - b^2$, lo que coincide con la opción d).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué sucede si el denominador $a^2 - b^2$ es cero?
2. ¿Cómo afectaría a la solución si $b = 0$?
3. ¿Puedes resolver una ecuación similar cambiando los términos por otras variables?
4. ¿Qué método alternativo podrías usar para resolver esta ecuación?
5. ¿Qué conceptos importantes se aplicaron para simplificar la ecuación?

Tip: Siempre verifica si puedes factorizar o simplificar antes de expandir expresiones algebraicas; esto puede ahorrar pasos y evitar errores.