Para hallar el valor de $k$ en la función $f(x) = 3^{x+k} - 3^{5x}$, sabiendo que $x = -2$ es una raíz, seguimos estos pasos:

1. Sabemos que $x = -2$ es una raíz, lo que significa que:

$f(-2) = 0$

2. Sustituyamos $x = -2$ en la función $f(x)$:

$f(-2) = 3^{-2 + k} - 3^{5(-2)}$ $f(-2) = 3^{k-2} - 3^{-10}$ Como $f(-2) = 0$, tenemos la ecuación: $3^{k-2} - 3^{-10} = 0$

3. Resolviendo la ecuación:

$3^{k-2} = 3^{-10}$

Ya que las bases son iguales, podemos igualar los exponentes: $k - 2 = -10$

4. Despejamos $k$:

$k = -10 + 2$ $k = -8$

Resultado:

El valor de $k$ es $\boxed{-8}$.

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¿Te gustaría que profundice en algún paso o tienes alguna otra pregunta? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo resolver ecuaciones exponenciales con bases iguales?
2. ¿Qué significa que una función tenga una raíz en un valor específico?
3. ¿Qué sucede si la base de los exponentes es diferente en una ecuación?
4. ¿Cómo interpretar la propiedad de las raíces de una función exponencial?
5. ¿Qué importancia tiene el valor de $k$ en la forma de la función $f(x)$?

Consejo: Siempre que trabajes con ecuaciones exponenciales, verifica que las bases sean iguales antes de igualar los exponentes.