Math Problem Statement
ecuacion diferencial por susutitucion (x+y)y'=x-y
Solution
La ecuación diferencial que planteas es , donde . Vamos a resolverla mediante un cambio de variable adecuado.
Paso 1: Reorganizar la ecuación
Primero, escribimos la ecuación de manera que sea más fácil identificar una sustitución:
Dividimos ambos lados por , asumiendo que :
Paso 2: Sustitución
Observamos que la ecuación tiene una forma que sugiere una sustitución. Podemos usar:
Entonces, derivamos con respecto a :
Sustituyendo en la ecuación original:
Sustituyendo en la ecuación diferencial obtenida en el Paso 1:
Pero como , también . Ahora sustituimos en el lado derecho:
Paso 3: Resolver la ecuación para
Ahora tenemos la siguiente ecuación diferencial:
Multiplicamos ambos lados por para eliminar la fracción:
Simplificamos:
Paso 4: Separación de variables
Reescribimos la ecuación para poder integrar:
Paso 5: Integración
Integramos ambos lados:
Esto nos da:
Multiplicamos por 2 para simplificar:
Donde es una constante de integración. Ahora, recordamos que , por lo tanto:
Paso 6: Solución final
Desarrollamos el cuadrado:
Restando de ambos lados:
Esta es la solución implícita de la ecuación diferencial.
¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?
Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
- ¿Cómo se identifica una buena sustitución en una ecuación diferencial?
- ¿Qué tipos de ecuaciones diferenciales se resuelven más fácilmente con sustitución?
- ¿Por qué es importante la condición ?
- ¿Cómo afectan las constantes de integración a la solución general?
- ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden?
Tip: En problemas de ecuaciones diferenciales, siempre intenta simplificar los términos antes de buscar una sustitución adecuada.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Differential Equations
Substitution Method
First-Order Equations
Formulas
y' = dy/dx
v = x + y
v dv = 2x dx
(x + y)^2 = 2x^2 + C
Theorems
Substitution method for solving first-order differential equations
Separation of variables
Suitable Grade Level
Undergraduate Calculus
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