ecuacion diferencial por susutitucion (x+y)y'=x-y

La ecuación diferencial que planteas es \( (x + y) y' = x - y \), donde \( y' = \frac{dy}{dx} \). Vamos a resolverla mediante un cambio de variable adecuado.

### Paso 1: Reorganizar la ecuación
Primero, escribimos la ecuación de manera que sea más fácil identificar una sustitución:

\[
(x + y) \frac{dy}{dx} = x - y
\]

Dividimos ambos lados por \( x + y \), asumiendo que \( x + y \neq 0 \):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}
\]

### Paso 2: Sustitución
Observamos que la ecuación tiene una forma que sugiere una sustitución. Podemos usar:

\[
v = x + y
\]

Entonces, derivamos \( v \) con respecto a \( x \):

\[
\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x + y) = 1 + \frac{dy}{dx}
\]

Sustituyendo \( \frac{dy}{dx} \) en la ecuación original:

\[
1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}
\]

Sustituyendo en la ecuación diferencial obtenida en el Paso 1:

\[
\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{x - y}{x + y}
\]

Pero como \( x + y = v \), también \( y = v - x \). Ahora sustituimos en el lado derecho:

\[
\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{x - (v - x)}{v} = \frac{2x - v}{v}
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación para \( v \)
Ahora tenemos la siguiente ecuación diferencial:

\[
\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{2x - v}{v}
\]

Multiplicamos ambos lados por \( v \) para eliminar la fracción:

\[
v \frac{dv}{dx} = v + 2x - v
\]

Simplificamos:

\[
v \frac{dv}{dx} = 2x
\]

### Paso 4: Separación de variables
Reescribimos la ecuación para poder integrar:

\[
v dv = 2x dx
\]

### Paso 5: Integración
Integramos ambos lados:

\[
\int v dv = \int 2x dx
\]

Esto nos da:

\[
\frac{v^2}{2} = x^2 + C
\]

Multiplicamos por 2 para simplificar:

\[
v^2 = 2x^2 + C'
\]

Donde \( C' = 2C \) es una constante de integración. Ahora, recordamos que \( v = x + y \), por lo tanto:

\[
(x + y)^2 = 2x^2 + C'
\]

### Paso 6: Solución final
Desarrollamos el cuadrado:

\[
x^2 + 2xy + y^2 = 2x^2 + C'
\]

Restando \( x^2 \) de ambos lados:

\[
2xy + y^2 = x^2 + C'
\]

Esta es la solución implícita de la ecuación diferencial.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se identifica una buena sustitución en una ecuación diferencial?
2. ¿Qué tipos de ecuaciones diferenciales se resuelven más fácilmente con sustitución?
3. ¿Por qué es importante la condición \( x + y \neq 0 \)?
4. ¿Cómo afectan las constantes de integración a la solución general?
5. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden?

**Tip**: En problemas de ecuaciones diferenciales, siempre intenta simplificar los términos antes de buscar una sustitución adecuada.

ecuacion diferencial por susutitucion (x+y)y' = x-y

Learn how to solve the first-order differential equation (x + y)y' = x - y using the substitution method. This step-by-step solution covers important concepts in differential equations and includes substitution techniques and separation of variables. Suitable for undergraduate calculus students.

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