Math Problem Statement

ecuacion diferencial por susutitucion (x+y)y'=x-y

Solution

La ecuación diferencial que planteas es (x+y)y=xy(x + y) y' = x - y, donde y=dydxy' = \frac{dy}{dx}. Vamos a resolverla mediante un cambio de variable adecuado.

Paso 1: Reorganizar la ecuación

Primero, escribimos la ecuación de manera que sea más fácil identificar una sustitución:

(x+y)dydx=xy(x + y) \frac{dy}{dx} = x - y

Dividimos ambos lados por x+yx + y, asumiendo que x+y0x + y \neq 0:

dydx=xyx+y\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}

Paso 2: Sustitución

Observamos que la ecuación tiene una forma que sugiere una sustitución. Podemos usar:

v=x+yv = x + y

Entonces, derivamos vv con respecto a xx:

dvdx=ddx(x+y)=1+dydx\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x + y) = 1 + \frac{dy}{dx}

Sustituyendo dydx\frac{dy}{dx} en la ecuación original:

1+dydx=dvdx1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}

Sustituyendo en la ecuación diferencial obtenida en el Paso 1:

dvdx1=xyx+y\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{x - y}{x + y}

Pero como x+y=vx + y = v, también y=vxy = v - x. Ahora sustituimos en el lado derecho:

dvdx1=x(vx)v=2xvv\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{x - (v - x)}{v} = \frac{2x - v}{v}

Paso 3: Resolver la ecuación para vv

Ahora tenemos la siguiente ecuación diferencial:

dvdx=1+2xvv\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{2x - v}{v}

Multiplicamos ambos lados por vv para eliminar la fracción:

vdvdx=v+2xvv \frac{dv}{dx} = v + 2x - v

Simplificamos:

vdvdx=2xv \frac{dv}{dx} = 2x

Paso 4: Separación de variables

Reescribimos la ecuación para poder integrar:

vdv=2xdxv dv = 2x dx

Paso 5: Integración

Integramos ambos lados:

vdv=2xdx\int v dv = \int 2x dx

Esto nos da:

v22=x2+C\frac{v^2}{2} = x^2 + C

Multiplicamos por 2 para simplificar:

v2=2x2+Cv^2 = 2x^2 + C'

Donde C=2CC' = 2C es una constante de integración. Ahora, recordamos que v=x+yv = x + y, por lo tanto:

(x+y)2=2x2+C(x + y)^2 = 2x^2 + C'

Paso 6: Solución final

Desarrollamos el cuadrado:

x2+2xy+y2=2x2+Cx^2 + 2xy + y^2 = 2x^2 + C'

Restando x2x^2 de ambos lados:

2xy+y2=x2+C2xy + y^2 = x^2 + C'

Esta es la solución implícita de la ecuación diferencial.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

  1. ¿Cómo se identifica una buena sustitución en una ecuación diferencial?
  2. ¿Qué tipos de ecuaciones diferenciales se resuelven más fácilmente con sustitución?
  3. ¿Por qué es importante la condición x+y0x + y \neq 0?
  4. ¿Cómo afectan las constantes de integración a la solución general?
  5. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden?

Tip: En problemas de ecuaciones diferenciales, siempre intenta simplificar los términos antes de buscar una sustitución adecuada.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Differential Equations
Substitution Method
First-Order Equations

Formulas

y' = dy/dx
v = x + y
v dv = 2x dx
(x + y)^2 = 2x^2 + C

Theorems

Substitution method for solving first-order differential equations
Separation of variables

Suitable Grade Level

Undergraduate Calculus