Tentukanlah penyelesaian dari PD berikut 4 cos² y dy+cos ec² x Dy=0

Persamaan diferensial yang diberikan adalah:

\[
4 \cos^2(y) \, dy + \sec^2(x) \, dx = 0
\]

Mari kita selesaikan langkah demi langkah:

### Langkah 1: Pisahkan variabel
Untuk mempermudah penyelesaian, kita pisahkan variabel \( x \) dan \( y \):

\[
4 \cos^2(y) \, dy = - \sec^2(x) \, dx
\]

Ini adalah persamaan yang terpisahkan, sehingga kita dapat mengintegrasikan kedua sisi.

### Langkah 2: Integrasi kedua sisi

#### Integrasi sisi kiri (\( y \)):
\[
\int 4 \cos^2(y) \, dy
\]
Gunakan identitas trigonometri:
\[
\cos^2(y) = \frac{1 + \cos(2y)}{2}
\]
Maka persamaan menjadi:
\[
\int 4 \cos^2(y) \, dy = \int 4 \times \frac{1 + \cos(2y)}{2} \, dy = 2 \int (1 + \cos(2y)) \, dy
\]

\[
= 2 \left( y + \frac{1}{2} \sin(2y) \right) = 2y + \sin(2y)
\]

#### Integrasi sisi kanan (\( x \)):
\[
\int - \sec^2(x) \, dx = - \tan(x)
\]

### Langkah 3: Hasilkan persamaan umum
Setelah mengintegrasikan kedua sisi, kita dapatkan:

\[
2y + \sin(2y) = -\tan(x) + C
\]
di mana \( C \) adalah konstanta integrasi.

### Penyelesaian:
Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan menjadi:
\[
2y + \sin(2y) = -\tan(x) + C
\]
Ini adalah bentuk umum penyelesaian dari persamaan diferensial yang diberikan.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

---

Pertanyaan lanjutan yang terkait:
1. Bagaimana metode pemisahan variabel diterapkan dalam kasus lain?
2. Apa itu integrasi substitusi trigonometri dan bagaimana penerapannya?
3. Apa perbedaan antara solusi umum dan solusi khusus pada persamaan diferensial?
4. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial tak terpisahkan?
5. Apa peran konstanta integrasi dalam solusi persamaan diferensial?

**Tip:** Dalam persamaan diferensial terpisah, sangat penting untuk memisahkan variabel dengan hati-hati sebelum melakukan integrasi pada kedua sisi persamaan.

Learn how to solve the differential equation 4 cos²(y) dy + sec²(x) dx = 0 with a detailed step-by-step solution using separation of variables and trigonometric identities. This example demonstrates key techniques in solving separable differential equations, suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation