Soit les fonctions \\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \\) et \\( g(x) = x - 1 \\). Déterminer la valeur de \\( x \\) telle que \\( f(g(x)) = 0 \\).

Pour résoudre \( f(g(x)) = 0 \), nous devons d'abord calculer \( f(g(x)) \), puis résoudre l'équation obtenue.

### Étape 1 : Calcul de \( f(g(x)) \)

Nous savons que \( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \) et \( g(x) = x - 1 \). En remplaçant \( x \) par \( g(x) \) dans l'expression de \( f(x) \), nous obtenons :
\[
f(g(x)) = 2(g(x))^2 + 3(g(x)) - 5
\]
En substituant \( g(x) = x - 1 \), nous avons :
\[
f(g(x)) = 2(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 5
\]

### Étape 2 : Développement de \( f(g(x)) \)

Commençons par développer les termes :
\[
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]
Ainsi,
\[
f(g(x)) = 2(x^2 - 2x + 1) + 3(x - 1) - 5
\]
Développons les termes :
\[
f(g(x)) = 2x^2 - 4x + 2 + 3x - 3 - 5
\]
En simplifiant :
\[
f(g(x)) = 2x^2 - 4x + 3x + 2 - 3 - 5
\]
\[
f(g(x)) = 2x^2 - x - 6
\]

### Étape 3 : Résolution de \( f(g(x)) = 0 \)

Nous devons maintenant résoudre l'équation suivante :
\[
2x^2 - x - 6 = 0
\]

Cette équation est une équation quadratique. Utilisons la formule quadratique pour résoudre \( ax^2 + bx + c = 0 \), où \( a = 2 \), \( b = -1 \), et \( c = -6 \). La formule est :
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Calculons le discriminant \( \Delta \) :
\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49
\]

Le discriminant est \( \Delta = 49 \), donc les solutions sont :
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{1 \pm 7}{4}
\]
Ainsi, les solutions sont :
\[
x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2
\]
\[
x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}
\]

### Conclusion

Les solutions de l'équation \( f(g(x)) = 0 \) sont \( x = 2 \) et \( x = -\frac{3}{2} \).

---

Souhaitez-vous plus de détails sur une étape particulière ou avez-vous des questions ? 

Voici 5 questions relatives pour approfondir :
1. Que représente la solution \( x \) dans ce contexte ?
2. Comment factoriseriez-vous \( 2x^2 - x - 6 \) pour trouver les racines sans la formule quadratique ?
3. Quelle est l'importance du discriminant dans les équations quadratiques ?
4. Quelle est la signification graphique des solutions \( x_1 \) et \( x_2 \) pour cette équation ?
5. Comment la composition de fonctions change-t-elle dans des contextes plus complexes ?

**Astuce** : Lorsque le discriminant est un carré parfait, les solutions de l'équation quadratique sont toujours des nombres rationnels.

Soit les fonctions \( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \) et \( g(x) = x - 1 \). Déterminer la valeur de \( x \) telle que \( f(g(x)) = 0 \).

Learn how to solve the composition of functions problem f(g(x)) = 0 where f(x) = 2x^2 + 3x - 5 and g(x) = x - 1. This solution includes detailed steps using the quadratic equation formula and discriminant method, perfect for Grades 9-12 students.

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