resuelve la siguiente ecuacion por metodo de bernouli: "dy/dx-y=e^x*y^2"

La ecuación diferencial que planteas es:

\[
\frac{dy}{dx} - y = e^x y^2
\]

Para resolverla mediante el **método de Bernoulli**, es necesario que la ecuación se transforme de la forma:

\[
\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n
\]

En este caso, podemos reescribir la ecuación como:

\[
\frac{dy}{dx} - y = e^x y^2
\]

Sumando \(y\) a ambos lados:

\[
\frac{dy}{dx} = y + e^x y^2
\]

Esto se puede reorganizar en la forma estándar de Bernoulli:

\[
\frac{dy}{dx} - y = e^x y^2
\]

Aquí, \(P(x) = -1\), \(Q(x) = e^x\), y \(n = 2\).

### Paso 1: Sustitución
Para utilizar el método de Bernoulli, aplicamos la sustitución:

\[
v = y^{1-n} = y^{-1}
\]

Derivando respecto a \(x\):

\[
\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}
\]

### Paso 2: Sustitución en la ecuación original
Sustituyendo en la ecuación original:

\[
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}
\]

Luego sustituimos en la ecuación de Bernoulli:

\[
-\frac{1}{y^2} \left( y + e^x y^2 \right) = \text{resulting simplified form}
\]



resuelve la siguiente ecuacion por metodo de bernouli: dy/dx - y = e^x * y^2

This detailed guide walks through solving the Bernoulli differential equation dy/dx - y = e^x * y^2 using substitution and step-by-step methods. Understand key concepts such as exponential functions and Bernoulli's equation for nonlinear differential equations. Ideal for advanced high school or college-level calculus students.

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