 Onko yhtälöryhmän 
3x2 −x3 = 1
2x1 = 4
x1 +6x2 −2x3 = 4
ratkaisujoukko avaruuden R3 taso, suora, piste vai tyhjä joukko?

Tarkastellaan yhtälöryhmän muotoa ja ratkaisujoukkoa:

Yhtälöryhmä on:
\[
\begin{cases}
3x_2 - x_3 = 1 \\
2x_1 = 4 \\
x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 4
\end{cases}
\]

1. **Ratkaistaan ensimmäinen yhtälö**:
   \[
   3x_2 - x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 3x_2 - 1
   \]

2. **Ratkaistaan toinen yhtälö**:
   \[
   2x_1 = 4 \Rightarrow x_1 = 2
   \]

3. **Korvataan \( x_1 = 2 \) kolmannessa yhtälössä**:
   \[
   2 + 6x_2 - 2x_3 = 4
   \]
   Sijoitetaan \( x_3 = 3x_2 - 1 \):
   \[
   2 + 6x_2 - 2(3x_2 - 1) = 4
   \]
   \[
   2 + 6x_2 - 6x_2 + 2 = 4
   \]
   Tämä sievenee muotoon:
   \[
   4 = 4
   \]
   joka on tosi väittämä, mutta ei tuo uutta tietoa yhtälöryhmän muuttujille.

### Ratkaisujoukon tulkinta
Yhtälöryhmässä ei ole ristiriitaa, mutta \(x_2\) voi saada minkä tahansa arvon. Ratkaisujoukko riippuu siis vapaasta muuttujasta \( x_2 \). Voimme ilmaista \( x_1 \) ja \( x_3 \) seuraavasti:
\[
x_1 = 2
\]
\[
x_3 = 3x_2 - 1
\]
Tämä tarkoittaa, että ratkaisujoukko muodostaa suoran avaruudessa \( \mathbb{R}^3 \), koska se voidaan esittää parametrimuodossa riippuen yhdestä vapaasta muuttujasta \( x_2 \).

### Vastaus
Yhtälöryhmän ratkaisujoukko on **suora** avaruudessa \( \mathbb{R}^3 \).

Onko sinulla kysymyksiä tai haluatko yksityiskohtaisempia selityksiä?

---

1. Kuinka muodostetaan parametriesitys suoralle?
2. Miksi tosi väittämä (kuten \(4 = 4\)) ei vaikuta ratkaisujen lukumäärään?
3. Mitä tarkoittaa, että ratkaisujoukko on tyhjä?
4. Miten tunnistaa, onko ratkaisujoukko piste, suora vai taso?
5. Mikä merkitys on vapaan muuttujan olemassaololla ratkaisujoukossa?

**Vinkki:** Yhtälöryhmän ristiriidaton ratkaisu riippuen vapaasta muuttujasta johtaa usein suoran tai tason muodostumiseen, mikä on hyödyllistä ymmärtää erityisesti lineaarialgebrassa.

Onko yhtälöryhmän 
3x2 −x3 = 1
2x1 = 4
x1 +6x2 −2x3 = 4
ratkaisujoukko avaruuden R3 taso, suora, piste vai tyhjä joukko?

Explore how to determine the solution set of a linear system in R3 and find if it forms a line, plane, point, or empty set. This problem covers essential concepts in linear algebra, including parametric representation and solution sets in R3, making it ideal for undergraduate students studying linear algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation