Math Problem Statement
Onko yhtälöryhmän 3x2 −x3 = 1 2x1 = 4 x1 +6x2 −2x3 = 4 ratkaisujoukko avaruuden R3 taso, suora, piste vai tyhjä joukko?
Solution
Tarkastellaan yhtälöryhmän muotoa ja ratkaisujoukkoa:
Yhtälöryhmä on:
3x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 = 4 \\ x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 4 \end{cases}$$ 1. **Ratkaistaan ensimmäinen yhtälö**: $$3x_2 - x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 3x_2 - 1$$ 2. **Ratkaistaan toinen yhtälö**: $$2x_1 = 4 \Rightarrow x_1 = 2$$ 3. **Korvataan $$x_1 = 2$$ kolmannessa yhtälössä**: $$2 + 6x_2 - 2x_3 = 4$$ Sijoitetaan $$x_3 = 3x_2 - 1$$: $$2 + 6x_2 - 2(3x_2 - 1) = 4$$ $$2 + 6x_2 - 6x_2 + 2 = 4$$ Tämä sievenee muotoon: $$4 = 4$$ joka on tosi väittämä, mutta ei tuo uutta tietoa yhtälöryhmän muuttujille. ### Ratkaisujoukon tulkinta Yhtälöryhmässä ei ole ristiriitaa, mutta $$x_2$$ voi saada minkä tahansa arvon. Ratkaisujoukko riippuu siis vapaasta muuttujasta $$x_2$$. Voimme ilmaista $$x_1$$ ja $$x_3$$ seuraavasti: $$x_1 = 2$$ $$x_3 = 3x_2 - 1$$ Tämä tarkoittaa, että ratkaisujoukko muodostaa suoran avaruudessa $$\mathbb{R}^3$$, koska se voidaan esittää parametrimuodossa riippuen yhdestä vapaasta muuttujasta $$x_2$$. ### Vastaus Yhtälöryhmän ratkaisujoukko on **suora** avaruudessa $$\mathbb{R}^3$$. Onko sinulla kysymyksiä tai haluatko yksityiskohtaisempia selityksiä? --- 1. Kuinka muodostetaan parametriesitys suoralle? 2. Miksi tosi väittämä (kuten $$4 = 4$$) ei vaikuta ratkaisujen lukumäärään? 3. Mitä tarkoittaa, että ratkaisujoukko on tyhjä? 4. Miten tunnistaa, onko ratkaisujoukko piste, suora vai taso? 5. Mikä merkitys on vapaan muuttujan olemassaololla ratkaisujoukossa? **Vinkki:** Yhtälöryhmän ristiriidaton ratkaisu riippuen vapaasta muuttujasta johtaa usein suoran tai tason muodostumiseen, mikä on hyödyllistä ymmärtää erityisesti lineaarialgebrassa.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Solution Sets in R3
Formulas
Equation manipulation to solve for variables
Parametric representation for lines in R3
Theorems
Existence and uniqueness theorem for linear systems
Suitable Grade Level
Undergraduate - Linear Algebra Course