Bepaal de helling van de kromme 3x + (x − y)4 = 2xy in (x, y) = (1, 2).

We willen de helling van de kromme \( 3x + (x - y)^4 = 2xy \) bepalen in het punt \( (x, y) = (1, 2) \). Om de helling te bepalen, moeten we de richtingscoëfficiënt vinden, wat betekent dat we de afgeleide \( \frac{dy}{dx} \) moeten bepalen.

**Stap 1: Impliciete differentiatie**
We differentiëren beide zijden van de vergelijking impliciet naar \( x \), waarbij we de regel voor kettingdifferentiatie gebruiken omdat \( y \) ook afhankelijk is van \( x \).

De vergelijking is:
\[
3x + (x - y)^4 = 2xy
\]

Laten we nu beide zijden differentiëren:

- \( \frac{d}{dx}(3x) = 3 \)
- \( \frac{d}{dx}((x - y)^4) = 4(x - y)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x - y) = 4(x - y)^3 \cdot (1 - \frac{dy}{dx}) \)
- \( \frac{d}{dx}(2xy) = 2y + 2x \frac{dy}{dx} \)

Dus de gedifferentieerde vergelijking wordt:

\[
3 + 4(x - y)^3 (1 - \frac{dy}{dx}) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}
\]

**Stap 2: Vervang \( x = 1 \) en \( y = 2 \)**
We vullen \( x = 1 \) en \( y = 2 \) in de vergelijking in:

\[
3 + 4(1 - 2)^3 (1 - \frac{dy}{dx}) = 2(2) + 2(1) \frac{dy}{dx}
\]

Dit wordt:

\[
3 + 4(-1)^3 (1 - \frac{dy}{dx}) = 4 + 2 \frac{dy}{dx}
\]

Vereenvoudig dit:

\[
3 - 4(1 - \frac{dy}{dx}) = 4 + 2 \frac{dy}{dx}
\]

**Stap 3: Oplossen voor \( \frac{dy}{dx} \)**
We vereenvoudigen en lossen de vergelijking op voor \( \frac{dy}{dx} \):

\[
3 - 4 + 4 \frac{dy}{dx} = 4 + 2 \frac{dy}{dx}
\]

Dit wordt:

\[
-1 + 4 \frac{dy}{dx} = 4 + 2 \frac{dy}{dx}
\]

Breng de termen met \( \frac{dy}{dx} \) aan dezelfde kant:

\[
4 \frac{dy}{dx} - 2 \frac{dy}{dx} = 4 + 1
\]

\[
2 \frac{dy}{dx} = 5
\]

Dus:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}
\]

**Conclusie:**
De helling van de kromme in het punt \( (1, 2) \) is \( \frac{5}{2} \).

Wil je verdere details over een bepaalde stap of heb je nog vragen?  

**Vervolgvragen:**
1. Wat is impliciete differentiatie en hoe wordt het toegepast?
2. Hoe zou de helling veranderen als we het punt \( (x, y) = (2, 3) \) beschouwen?
3. Wat is de geometrische interpretatie van de afgeleide \( \frac{dy}{dx} \) in termen van helling?
4. Hoe zou je deze methode toepassen op andere krommen zoals \( x^2 + y^2 = 1 \)?
5. Wat is het belang van de kettingregel in deze berekeningen?

**Tip:** Impliciete differentiatie is handig wanneer de variabelen niet expliciet zijn opgelost voor één van hen, zoals vaak het geval is bij complexe vergelijkingen.

Bepaal de helling van de kromme 3x + (x − y)^4 = 2xy in (x, y) = (1, 2).

Find the slope of the curve defined by the equation 3x + (x − y)^4 = 2xy at the point (1, 2). This solution involves implicit differentiation, application of the chain rule, and solving for dy/dx. Suitable for advanced high school students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation