Math Problem Statement

er staat als b<0 gaat het dalend door (d,a) dus je antwoord is fout bewijs het ChatGPT said: ChatGPT Je hebt gelijk dat er een algemeen principe is voor sinusfuncties van de vorm:

𝑓 ( π‘₯ )

π‘Ž + 𝑏 sin ⁑ ( 𝑐 ( π‘₯ βˆ’ 𝑑 ) ) f(x)=a+bsin(c(xβˆ’d))

waarbij:

π‘Ž a de verticale verschuiving is, 𝑏 b de amplitude bepaalt (en de richting van de grafiek), 𝑐 c de frequentie beΓ―nvloedt, 𝑑 d een horizontale verschuiving geeft (faseverschuiving). Wanneer 𝑏 < 0 b<0, begint de grafiek van de sinusfunctie inderdaad dalend vanuit het punt ( 𝑑 , π‘Ž ) (d,a), omdat de negatieve amplitude de sinusfunctie omkeert. In ons geval is de functie:

𝑓 ( π‘₯ )

3 2 βˆ’ 5 2 sin ⁑ ( πœ‹ 2 π‘₯ βˆ’ πœ‹ 3 ) f(x)= 2 3 ​ βˆ’ 2 5 ​ sin( 2 Ο€ ​ xβˆ’ 3 Ο€ ​ ) Hier geldt 𝑏

βˆ’ 5 2 b=βˆ’ 2 5 ​ , wat betekent dat de grafiek zou moeten beginnen met een daling vanaf het punt ( 𝑑 , π‘Ž ) (d,a).

Analyse: Laten we eerst het faseverschuivingspunt bepalen:

π‘₯

𝑑

πœ‹ 2 π‘₯ βˆ’ πœ‹ 3

0 x=d= 2 Ο€ ​ xβˆ’ 3 Ο€ ​ =0 Dus, π‘₯

1 3 x= 3 1 ​ is de waarde van 𝑑 d.

Het punt ( 𝑑 , π‘Ž ) (d,a) is dan ( 1 3 , 3 2 ) ( 3 1 ​ , 2 3 ​ ).

Volgens het principe zou de grafiek in dit punt een dalende richting moeten hebben vanwege de negatieve amplitude 𝑏

βˆ’ 5 2 b=βˆ’ 2 5 ​ .

Correctie van mijn eerdere antwoord: Je hebt gelijk dat mijn eerdere verklaring over de richting van de grafiek bij π‘₯

0 x=0 fout was. De grafiek moet in feite dalen wanneer 𝑏 < 0 b<0 en π‘₯

𝑑 x=d, wat in dit geval rond π‘₯

1 3 x= 3 1 ​ is.

Bedankt voor de opmerking!

draw the problem

Solution

The graph above shows the function f(x)=32βˆ’52sin⁑(Ο€2(xβˆ’13))f(x) = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}(x - \frac{1}{3})\right). The red point represents the point (d,a)=(1/3,3/2)(d, a) = (1/3, 3/2). Since b=βˆ’52b = -\frac{5}{2} is negative, the graph starts by decreasing from this point, which aligns with the principle that when b<0b < 0, the sinusoidal function starts with a downward slope at x=dx = d.

Would you like more details on how this behavior was determined or further explanation on sinusoidal functions?

Here are some related questions to deepen your understanding:

  1. How does the amplitude bb affect the steepness of the graph?
  2. What role does the frequency cc play in determining the shape of the function?
  3. Can we determine the period of the function from the given equation?
  4. How would the graph change if bb were positive?
  5. What happens to the graph when we alter the phase shift dd?

Tip: For sinusoidal functions, a negative amplitude flips the graph vertically, causing it to start by decreasing instead of increasing.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Trigonometry
Sinusoidal Functions
Amplitude
Phase Shift

Formulas

f(x) = a + b * sin(c(x - d))
Amplitude (b) affects the vertical stretch and direction of the graph
Phase Shift (d) is the horizontal shift of the graph

Theorems

Sinusoidal Function Behavior
Amplitude Theorem: If b < 0, the function starts with a downward slope

Suitable Grade Level

Grades 10-12