Ad un esame universitario, a cui partecipano 70 candidati, sono stati assegnati tre esercizi. 7 candidati hanno eseguito in modo corretto tutti e tre gli esercizi. Tutti quelli che hanno eseguito in modo corretto il terzo esercizio, hanno eseguito in modo corretto anche i primi due, 23 candidati hanno eseguito in modo corretto solo i primi due, 5 non hanno eseguito in modo corretto nessun esercizio e 54 hanno eseguito in modo corretto il primo. Trovare quanti candidati hanno eseguito in modo corretto solo il primo esercizio, quanti solo il secondo.



Per risolvere questo problema, possiamo usare la **teoria degli insiemi**. Definiamo i seguenti insiemi:

- \( A \): i candidati che hanno eseguito correttamente il primo esercizio.
- \( B \): i candidati che hanno eseguito correttamente il secondo esercizio.
- \( C \): i candidati che hanno eseguito correttamente il terzo esercizio.

Con le informazioni date:

- \( |A \cap B \cap C| = 7 \): 7 candidati hanno eseguito correttamente tutti e tre gli esercizi.
- Tutti quelli che hanno eseguito correttamente il terzo esercizio hanno eseguito correttamente anche i primi due. Questo implica che \( C \subseteq (A \cap B) \), ovvero l'insieme \( C \) è un sottoinsieme di \( A \cap B \).
- \( |A \cap B| = 23 + 7 = 30 \): 23 candidati hanno eseguito correttamente solo i primi due esercizi e 7 tutti e tre.
- \( 54 \): 54 candidati hanno eseguito correttamente il primo esercizio (\( |A| = 54 \)).
- \( 5 \): 5 candidati non hanno eseguito correttamente nessun esercizio. Questo implica che il numero totale di candidati che hanno eseguito correttamente almeno un esercizio è \( 70 - 5 = 65 \).

Ora dobbiamo trovare:

1. Il numero di candidati che hanno eseguito correttamente **solo il primo esercizio**.
2. Il numero di candidati che hanno eseguito correttamente **solo il secondo esercizio**.

### Passo 1: Troviamo i candidati che hanno eseguito correttamente solo il primo esercizio.

Dal momento che 54 candidati hanno eseguito correttamente il primo esercizio e sappiamo che 30 hanno eseguito correttamente sia il primo che il secondo esercizio (inclusi quelli che hanno eseguito anche il terzo), il numero di candidati che hanno eseguito correttamente **solo il primo esercizio** è:

\[
|A \setminus (B \cup C)| = |A| - |A \cap B| = 54 - 30 = 24
\]

Quindi, **24 candidati** hanno eseguito correttamente solo il primo esercizio.

### Passo 2: Troviamo i candidati che hanno eseguito correttamente solo il secondo esercizio.

Sappiamo che 30 candidati hanno eseguito correttamente i primi due esercizi (\( |A \cap B| = 30 \)), e che 23 di questi hanno eseguito solo i primi due esercizi. Quindi, il numero di candidati che hanno eseguito correttamente **solo il secondo esercizio** è:

\[
|B \setminus A| = 23
\]

Quindi, **23 candidati** hanno eseguito correttamente solo il secondo esercizio.

### Riassunto delle risposte:

- **24 candidati** hanno eseguito correttamente solo il primo esercizio.
- **23 candidati** hanno eseguito correttamente solo il secondo esercizio.

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Hai domande o desideri ulteriori chiarimenti su questo problema?

### Domande correlate:
1. Come si rappresentano gli insiemi con i diagrammi di Venn in questo contesto?
2. Quali sono altre applicazioni della teoria degli insiemi nella risoluzione dei problemi?
3. Come si generalizza questo tipo di problema con più insiemi e condizioni?
4. Cosa cambia se aumentiamo il numero di candidati e di esercizi?
5. Come influisce l’uso della logica booleana nella risoluzione di problemi di insiemi?

### Suggerimento:
Quando affronti problemi di teoria degli insiemi con molti dati, traccia sempre un diagramma di Venn per avere una rappresentazione visiva delle relazioni tra gli insiemi.

Ad un esame universitario, a cui partecipano 70 candidati, sono stati assegnati tre esercizi. 7 candidati hanno eseguito in modo corretto tutti e tre gli esercizi. Tutti quelli che hanno eseguito in modo corretto il terzo esercizio, hanno eseguito in modo corretto anche i primi due, 23 candidati hanno eseguito in modo corretto solo i primi due, 5 non hanno eseguito in modo corretto nessun esercizio e 54 hanno eseguito in modo corretto il primo. Trovare quanti candidati hanno eseguito in modo corretto solo il primo esercizio, quanti solo il secondo.

Solve a university-level problem involving 70 candidates and their performance in three exercises. Using set theory and logical reasoning, find how many candidates completed only the first or only the second exercise. This solution involves concepts like set intersections and the inclusion-exclusion principle.

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