i1+i2−i4=3−i1−3i2+2i3+4i4=−8−2i1−i2−6i3−7i4=95i1+6i2+8i3+7i4=−5{i1+i2−i4=3−i1−3i2+2i3+4i4=−8−2i1−i2−6i3−7i4=95i1+6i2+8i3+7i4=−5

Hạng của hệ phương trình này là:

Ta có hệ phương trình:  

\[
\begin{cases} 
i_1 + i_2 - i_4 = 3 \\
- i_1 - 3i_2 + 2i_3 + 4i_4 = -8 \\
-2i_1 - i_2 - 6i_3 - 7i_4 = 9 \\
5i_1 + 6i_2 + 8i_3 + 7i_4 = -5
\end{cases}
\]

### Bước 1: Viết ma trận hệ số  
Ma trận hệ số của hệ là:  

\[
A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & -1 \\
-1 & -3 & 2 & 4 \\
-2 & -1 & -6 & -7 \\
5 & 6 & 8 & 7
\end{bmatrix}
\]

Ma trận mở rộng:

\[
A' =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & -1 & |3 \\
-1 & -3 & 2 & 4 & |-8 \\
-2 & -1 & -6 & -7 & |9 \\
5 & 6 & 8 & 7 & |-5
\end{bmatrix}
\]

### Bước 2: Tìm hạng của ma trận hệ số \( A \)
Ta biến đổi hàng để đưa về dạng bậc thang:

1. Giữ nguyên hàng 1.
2. Nhân hàng 1 với 1 và cộng vào hàng 2:
   \[
   (1,-1) \rightarrow (1-1, 1-3, 0+2, -1+4, 3-8) = (0, -2, 2, 3, -5)
   \]
3. Nhân hàng 1 với 2 và cộng vào hàng 3:
   \[
   (1,-2) \rightarrow (1-2, 1-2, 0-6, -1-7, 3+9) = (0, -1, -6, -7, 9)
   \]
4. Nhân hàng 1 với -5 và cộng vào hàng 4:
   \[
   (1,5) \rightarrow (1+5, 1+6, 0+8, -1+7, 3+5) = (0, 1, 8, 6, -10)
   \]

Ma trận trở thành:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & -1 & |3 \\
0 & -2 & 2 & 3 & |-5 \\
0 & -1 & -6 & -7 & |9 \\
0 & 1 & 8 & 6 & |-10
\end{bmatrix}
\]

Tiếp tục đưa về dạng bậc thang:

- Cộng hàng 2 với hàng 3 nhân (-1/2):

  \[
  (0, -1) \rightarrow (0, 0, -6+1, -7+1.5, 9+2.5) = (0, 0, -5, -5.5, 11.5)
  \]

- Cộng hàng 2 với hàng 4 nhân (1/2):

  \[
  (0, 1) \rightarrow (0, 0, 8-1, 6-1.5, -10+2.5) = (0, 0, 7, 4.5, -7.5)
  \]

Ma trận lúc này là:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & -1 & |3 \\
0 & -2 & 2 & 3 & |-5 \\
0 & 0 & -5 & -5.5 & |11.5 \\
0 & 0 & 7 & 4.5 & |-7.5
\end{bmatrix}
\]

Tiếp tục đưa hàng 3 và hàng 4 về dạng bậc thang:

- Nhân hàng 3 với (-1/5):

  \[
  (0, 0, -5, -5.5, 11.5) \rightarrow (0, 0, 1, 1.1, -2.3)
  \]

- Nhân hàng 4 với (1/7):

  \[
  (0, 0, 7, 4.5, -7.5) \rightarrow (0, 0, 1, 0.64, -1.07)
  \]

- Lấy hàng 4 trừ hàng 3 nhân 7:

  \[
  (0, 0, 1, 0.64, -1.07) - (0, 0, 7, 7.7, -16.1) = (0, 0, 0, -7.06, 15.03)
  \]

Ma trận cuối cùng là:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & -1 & |3 \\
0 & -2 & 2 & 3 & |-5 \\
0 & 0 & 1 & 1.1 & |-2.3 \\
0 & 0 & 0 & -7.06 & |15.03
\end{bmatrix}
\]

Hạng của ma trận hệ số là số hàng khác 0, tức là **4**.  

### Kết luận:
Hạng của hệ phương trình là **4**.  

Bạn có muốn thêm chi tiết về cách biến đổi không?  

### Câu hỏi mở rộng:
1. Khi nào hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm?  
2. Nếu hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn, điều đó có ý nghĩa gì?  
3. Làm thế nào để kiểm tra tính tương đương hàng của ma trận?  
4. Nếu thêm một phương trình vào hệ, hạng của hệ có thay đổi không?  
5. Có cách nào nhanh hơn để tính hạng của ma trận mà không cần biến đổi hàng không?  

#### 🔢 **Mẹo:** Khi giải hệ phương trình tuyến tính, sử dụng phương pháp Gauss hoặc Gauss-Jordan giúp đơn giản hóa hệ một cách hiệu quả.

Hạng của hệ phương trình này là: i1+i2−i4=3−i1−3i2+2i3+4i4=−8−2i1−i2−6i3−7i4=95i1+6i2+8i3+7i4=−5

Learn how to find the rank of a system of linear equations using Gaussian elimination. This step-by-step solution shows how to transform the coefficient matrix into row echelon form and determine the rank of the matrix, which is 4 in this case. Suitable for high school students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation