Diketahui fungsi:

$f(x) = 2x - 1$ $g(x) = \frac{x}{x + 2}$

Kita diminta untuk mencari range dari $f \circ g(x)$, yaitu komposisi fungsi $f$ dan $g$.

Langkah-langkah:

1. Cari komposisi $f \circ g(x)$: Komposisi $f \circ g(x)$ berarti kita substitusi fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$. Dengan kata lain, $f(g(x))$.

$f(g(x)) = 2 \left( \frac{x}{x + 2} \right) - 1$

2. Sederhanakan ekspresi $f(g(x))$:

$f(g(x)) = 2 \cdot \frac{x}{x + 2} - 1$ $f(g(x)) = \frac{2x}{x + 2} - 1$ $f(g(x)) = \frac{2x}{x + 2} - \frac{x + 2}{x + 2}$ $f(g(x)) = \frac{2x - (x + 2)}{x + 2}$ $f(g(x)) = \frac{2x - x - 2}{x + 2}$ $f(g(x)) = \frac{x - 2}{x + 2}$

3. Analisis domain dan range:

   • Domain: Fungsi $g(x) = \frac{x}{x + 2}$ tidak terdefinisi untuk $x = -2$, karena menyebabkannya pembagian dengan nol. Jadi, domain dari fungsi komposisi $f \circ g(x)$ adalah semua bilangan real kecuali $x = -2$.
   • Range: Untuk menentukan range dari $f \circ g(x) = \frac{x - 2}{x + 2}$, kita perlu mempertimbangkan limit atau batas fungsi ini.

   Perhatikan bahwa:

   $\lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{x + 2} = 1$ $\lim_{x \to -\infty} \frac{x - 2}{x + 2} = 1$

   Fungsi ini juga tidak pernah mencapai nilai $-1$ karena saat $x = -2$, terjadi asimtot vertikal. Oleh karena itu, range dari $f \circ g(x)$ adalah semua bilangan real kecuali $-1$.

Jadi, range dari $f \circ g(x)$ adalah:

$\boxed{(-\infty, -1) \cup (-1, \infty)}$

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau contoh soal lainnya?

Berikut adalah beberapa soal terkait:

1. Tentukan domain dari $g(f(x))$.
2. Hitung nilai $f(g(x))$ ketika $x = 1$.
3. Apakah $f \circ g(x)$ memiliki titik stasioner? Jelaskan.
4. Jika $f(x) = x^2 - 2$, bagaimana range dari $f \circ g(x)$?
5. Bagaimana bentuk grafik dari $f \circ g(x)$?

Tip: Saat mencari range komposisi fungsi, penting untuk mempertimbangkan batas asimtotik dan perilaku fungsi pada batas-batas domainnya.