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第1章 図形と相似
35 正方形ABCDの辺 AB上の点に対して、対角線 BDと線 の交点をFとする。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) △ABF=△CBFであることを証明しなさい。
(2) AE: EB=3:4であるとき、AF: EFを求めなさい。

この問題は、図形の相似や三角形の合同を使った証明および比の関係に関する問題です。以下に詳しく解説します。

### (1) △ABF = △CBFであることの証明

**証明:**

1. 正方形ABCDでは、すべての辺の長さが等しく、∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°です。
   
2. 点Fは対角線BDと線AEの交点です。

3. △ABFと△CBFを考えます。
   - AB = BC (正方形の性質から)
   - ∠ABF = ∠CBF (∠ABFと∠CBFは共通の∠Bを持ちます)
   - BFは共通辺です。

これにより、2組の辺とその間の角が等しいため、**2辺とその間の角が等しい**ことから、△ABF ≅ △CBF であることが示されました。

したがって、**△ABF = △CBF**です。

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### (2) AE:EB = 3:4 のとき、AF:EFを求めなさい

次に、AE:EB = 3:4という情報をもとにAF:EFを求めます。

**解法:**

1. AE:EB = 3:4 の情報から、AEを3x、EBを4xとおきます。このとき、AB = AE + EB = 3x + 4x = 7x です。

2. 線AEと対角線BDが点Fで交わっていることに注目します。

3. △AFEと△BFEは相似であるため、対応する辺の比は同じです。つまり、AF:FE = AE:EB です。

4. よって、AF:EF = 3:4 です。

### まとめ:
- (1) △ABF ≅ △CBF は合同であることが示されました。
- (2) AF:EF = 3:4 です。

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質問はありますか？次のような関連問題にも挑戦してみてください。

1. 正方形の他の対角線に関する問題を設定し、相似を証明しなさい。
2. ABの長さが具体的に与えられたとき、AFの長さを求めなさい。
3. 他の三角形を使って合同条件を使った証明を行いなさい。
4. AE:EBが異なる比率のときのAF:EFを求める問題を考えてみましょう。
5. 斜めに引かれた線分が交わる場合の面積の比を求めなさい。

**Tip:** 正方形の対角線はすべての辺を等しく二等分します。

第1章 図形と相似 35 正方形ABCDの辺 AB上の点に対して、対角線 BDと線 AEの交点をFとする。このとき、次の問いに答えなさい。 (1) △ABF=△CBFであることを証明しなさい。 (2) AE: EB=3:4であるとき、AF: EFを求めなさい。

Solve a problem involving triangle congruence and segment ratios in a square. Learn how to prove △ABF ≅ △CBF using the SAS Congruence Theorem and find AF:EF when AE:EB = 3:4. This problem covers geometric concepts, congruent triangles, and proportional reasoning, suitable for students in Grades 8-10.

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