Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(0) \neq 0$ που ικανοποιεί την ιδιότητα $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$. Θα δείξουμε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x \in \mathbb{R}$ και ότι ισχύει η σχέση:

$f'(x) = f'(0) \cdot f(x).$

Βήμα 1: Βρείτε την παράγωγο στο 0

Δεδομένου ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$, έχουμε τον ορισμό της παραγώγου στο $0$:

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}.$

Βήμα 2: Παραγωγίσιμότητα σε οποιοδήποτε σημείο $x$

Θέλουμε να δείξουμε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x \in \mathbb{R}$. Θεωρούμε τον ορισμό της παραγώγου της $f$ στο σημείο $x$:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνάρτησης $f(x + h) = f(x) \cdot f(h)$, αντικαθιστούμε:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot f(h) - f(x)}{h}.$

Απλοποιούμε την παραπάνω έκφραση:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot (f(h) - 1)}{h}.$

Μπορούμε να βγάλουμε το $f(x)$ εκτός του ορίου, επειδή είναι σταθερά ως προς $h$:

$f'(x) = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}.$

Το όριο στη δεξιά πλευρά είναι ακριβώς η παράγωγος της $f$ στο $0$:

$f'(x) = f(x) \cdot f'(0).$

Συμπέρασμα

Αποδείξαμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x \in \mathbb{R}$ και ότι ισχύει:

$f'(x) = f'(0) \cdot f(x).$

Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποιες ερωτήσεις;

Σχετικές Ερωτήσεις:

1. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$ για να προσδιορίσουμε τη μορφή της συνάρτησης $f(x)$;
2. Τι ιδιότητες έχει μια συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση Cauchy όπως η $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$;
3. Πώς συνδέεται η συνθήκη της παραγωγισιμότητας με τη συνέχεια της συνάρτησης $f$;
4. Μπορεί η $f(x)$ να είναι μια εκθετική συνάρτηση, και αν ναι, πώς αποδεικνύεται αυτό;
5. Πώς θα αποδείξεις την παραγωγισιμότητα αν δεν δινόταν η παραγωγισιμότητα στο $0$;

Συμβουλή:

Όταν δουλεύεις με συναρτήσεις που ικανοποιούν λειτουργικές εξισώσεις όπως αυτή, είναι συχνά χρήσιμο να εξετάζεις ειδικές τιμές του $x$ και του $y$ για να απομονώσεις βασικές ιδιότητες της συνάρτησης.