΄Εστω η συνάρτηση f : R → R με f (0) ̸= 0 τέτοια ώστε
f (x + y) = f (x) · f (y) ∀x, y ∈ R.
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, Να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη ∀x ∈ R με
παράγωγο f
′
(x) = f
′
(0) · f (x).

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) με \( f(0) \neq 0 \) που ικανοποιεί την ιδιότητα \( f(x + y) = f(x) \cdot f(y) \) για κάθε \( x, y \in \mathbb{R} \). Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( 0 \). Θα δείξουμε ότι η \( f \) είναι παραγωγίσιμη σε κάθε \( x \in \mathbb{R} \) και ότι ισχύει η σχέση:

\[
f'(x) = f'(0) \cdot f(x).
\]

### Βήμα 1: Βρείτε την παράγωγο στο 0
Δεδομένου ότι η \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( 0 \), έχουμε τον ορισμό της παραγώγου στο \( 0 \):

\[
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}.
\]

### Βήμα 2: Παραγωγίσιμότητα σε οποιοδήποτε σημείο \( x \)
Θέλουμε να δείξουμε ότι η \( f \) είναι παραγωγίσιμη σε κάθε \( x \in \mathbb{R} \). Θεωρούμε τον ορισμό της παραγώγου της \( f \) στο σημείο \( x \):

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
\]

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνάρτησης \( f(x + h) = f(x) \cdot f(h) \), αντικαθιστούμε:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot f(h) - f(x)}{h}.
\]

Απλοποιούμε την παραπάνω έκφραση:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot (f(h) - 1)}{h}.
\]

Μπορούμε να βγάλουμε το \( f(x) \) εκτός του ορίου, επειδή είναι σταθερά ως προς \( h \):

\[
f'(x) = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}.
\]

Το όριο στη δεξιά πλευρά είναι ακριβώς η παράγωγος της \( f \) στο \( 0 \):

\[
f'(x) = f(x) \cdot f'(0).
\]

### Συμπέρασμα
Αποδείξαμε ότι η συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη σε κάθε \( x \in \mathbb{R} \) και ότι ισχύει:

\[
f'(x) = f'(0) \cdot f(x).
\]

Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποιες ερωτήσεις;

### Σχετικές Ερωτήσεις:
1. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση \( f(x+y) = f(x) \cdot f(y) \) για να προσδιορίσουμε τη μορφή της συνάρτησης \( f(x) \);
2. Τι ιδιότητες έχει μια συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση Cauchy όπως η \( f(x+y) = f(x) \cdot f(y) \);
3. Πώς συνδέεται η συνθήκη της παραγωγισιμότητας με τη συνέχεια της συνάρτησης \( f \);
4. Μπορεί η \( f(x) \) να είναι μια εκθετική συνάρτηση, και αν ναι, πώς αποδεικνύεται αυτό;
5. Πώς θα αποδείξεις την παραγωγισιμότητα αν δεν δινόταν η παραγωγισιμότητα στο \( 0 \);

### Συμβουλή:
Όταν δουλεύεις με συναρτήσεις που ικανοποιούν λειτουργικές εξισώσεις όπως αυτή, είναι συχνά χρήσιμο να εξετάζεις ειδικές τιμές του \( x \) και του \( y \) για να απομονώσεις βασικές ιδιότητες της συνάρτησης.

Explore how to prove the differentiability of a function satisfying the equation f(x+y) = f(x) * f(y) for all real numbers x and y. This problem delves into advanced calculus concepts, including derivatives, exponential function properties, and functional equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation