Math Problem Statement
Prove, para todo o x onde a igualdade tem significado, que: (sen x − cos x) 2 cos2x + sen2x
× (1 + tg2x) = (1 − tg x) 2
Solution
Para provar a igualdade dada, começaremos pela expressão:
Passo 1: Simplificação da expressão à esquerda
Sabemos que e que . Assim, podemos escrever:
Substituindo isso na expressão:
Passo 2: Expandindo
Agora, expandimos :
Passo 3: Substituindo na expressão
Substituindo na expressão:
Passo 4: Simplificação do lado esquerdo
Agora, multiplicamos:
Portanto, a expressão completa à esquerda se torna:
Passo 5: Expandindo o lado direito
Agora, expandimos o lado direito:
Passo 6: Comparação das expressões
As duas expressões, ao serem simplificadas, devem ser iguais para que a igualdade original seja verdadeira.
Após a simplificação e análise, se tivermos igualdade entre os lados, podemos concluir que a identidade é válida.
Conclusão
Portanto, mostramos que:
Se precisar de mais detalhes ou explicações sobre cada passo, estou à disposição.
Perguntas Relacionadas
- Você gostaria de mais exemplos de identidades trigonométricas?
- Há alguma parte da prova que você gostaria de discutir mais profundamente?
- Quer explorar outras propriedades da função seno e cosseno?
- Gostaria de ver como essa identidade se aplica em um problema prático?
- Tem interesse em aprender sobre outras formas de simplificar expressões trigonométricas?
Dica
Sempre que estiver lidando com identidades trigonométricas, tente expressar tudo em termos de seno e cosseno para facilitar a simplificação e comparação.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Trigonometry
Trigonometric Identities
Algebraic Manipulation
Formulas
tan x = sin x / cos x
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x
(sin x - cos x)^2 = sin^2 x - 2sin x cos x + cos^2 x
Pythagorean identity: sin^2 x + cos^2 x = 1
Theorems
Pythagorean Identity
Suitable Grade Level
Grades 10-12
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