Math Problem Statement

buktikan metode parabola / simpson menggunakan integral​

Solution

Bukti Metode Parabola (Simpson's Rule) Menggunakan Integral

Metode parabola atau aturan Simpson adalah salah satu metode numerik untuk menghampiri integral tertentu. Ini didasarkan pada interpolasi polinomial orde dua (kuadratik) untuk menghampiri fungsi yang akan diintegrasikan.

Langkah 1: Menyatakan Integral

Misalkan kita ingin menghampiri integral berikut:

I=abf(x)dxI = \int_a^b f(x) \, dx

Kita bagi interval [a,b][a, b] menjadi nn subinterval yang sama panjangnya, dengan nn harus genap. Panjang masing-masing subinterval adalah:

h=ban.h = \frac{b - a}{n}.

Langkah 2: Polinomial Kuadratik

Untuk mendekati fungsi f(x)f(x), kita menggunakan polinomial kuadratik P(x)P(x) yang melewati tiga titik: P(x)=f(x0),f(x1),danf(x2),P(x) = f(x_0), \quad f(x_1), \quad \text{dan} \quad f(x_2), dengan: x0=a,x1=a+h,x2=a+2h.x_0 = a, \quad x_1 = a + h, \quad x_2 = a + 2h.

Interpolasi Lagrange untuk polinomial kuadratik P(x)P(x) adalah: P(x)=f(x0)(xx1)(xx2)(x0x1)(x0x2)+f(x1)(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)+f(x2)(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1).P(x) = f(x_0) \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} + f(x_1) \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} + f(x_2) \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)}.

Langkah 3: Integrasi Polinomial

Kita menghampiri integral II dengan menghitung integral dari P(x)P(x):

x0x2f(x)dxx0x2P(x)dx.\int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx \approx \int_{x_0}^{x_2} P(x) \, dx.

Setelah menghitung integral P(x)P(x), hasilnya adalah: x0x2P(x)dx=h3[f(x0)+4f(x1)+f(x2)].\int_{x_0}^{x_2} P(x) \, dx = \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) \right].

Langkah 4: Menyusun Aturan Simpson

Jika kita memperluas ke seluruh interval [a,b][a, b] dengan nn subinterval (dengan nn genap), maka aturan Simpson dapat dirumuskan sebagai:

abf(x)dxh3[f(x0)+4i=1,3,5,n1f(xi)+2i=2,4,6,n2f(xi)+f(xn)].\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4 \sum_{i=1,3,5,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(x_n) \right].

Bukti Selesai

Metode Simpson dihitung dengan menghampiri fungsi menggunakan polinomial kuadratik, kemudian menghitung integral polinomial tersebut.


Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan?
Berikut 5 pertanyaan relevan untuk memperdalam:

  1. Apa asumsi utama yang digunakan dalam metode Simpson?
  2. Bagaimana membuktikan akurasi metode Simpson untuk polinomial orde tiga?
  3. Apa perbedaan antara metode Simpson dan metode trapesium?
  4. Kapan metode Simpson tidak cocok untuk digunakan?
  5. Bagaimana mengaplikasikan metode Simpson pada fungsi diskrit?

Tip: Gunakan metode Simpson hanya ketika jumlah subinterval (nn) genap untuk hasil yang optimal.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Numerical Integration
Simpson's Rule
Polynomial Interpolation

Formulas

Simpson's Rule: ∫_a^b f(x) dx ≈ h/3 [f(x0) + 4∑f(odd indices) + 2∑f(even indices) + f(xn)]
Lagrange Interpolation Polynomial

Theorems

Interpolation Theorem
Simpson's Rule Derivation

Suitable Grade Level

Grades 11-12, Undergraduate