Para demostrar la igualdad $3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n = \frac{3}{2} \times (3^n - 1)$ por inducción matemática, seguiremos estos pasos:

Paso 1: Base de la inducción

Verificamos si la igualdad es cierta para $n = 1$.

Para $n = 1$, el lado izquierdo de la ecuación es:

$3 = 3$

El lado derecho de la ecuación es:

$\frac{3}{2} \times (3^1 - 1) = \frac{3}{2} \times (3 - 1) = \frac{3}{2} \times 2 = 3$

La igualdad se cumple para $n = 1$.

Paso 2: Hipótesis de inducción

Supongamos que la igualdad es cierta para $n = k$, es decir,

$3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^k = \frac{3}{2} \times (3^k - 1)$

Paso 3: Paso de inducción

Debemos demostrar que la igualdad también se cumple para $n = k + 1$, es decir, demostrar que

$3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^k + 3^{k+1} = \frac{3}{2} \times (3^{k+1} - 1)$

Utilizando la hipótesis de inducción, tenemos:

$3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^k + 3^{k+1} = \frac{3}{2} \times (3^k - 1) + 3^{k+1}$

Simplificamos la expresión:

$\frac{3}{2} \times (3^k - 1) + 3^{k+1} = \frac{3 \times 3^k - 3 + 2 \times 3^{k+1}}{2}$

Observamos que $3^{k+1} = 3 \times 3^k$, así que sustituimos:

$\frac{3}{2} \times (3^k - 1) + 3^{k+1} = \frac{3^{k+1} - 3 + 2 \times 3^{k+1}}{2}$

Agrupamos y simplificamos:

$= \frac{3^{k+1} - 3 + 2 \times 3^{k+1}}{2} = \frac{3^{k+1} + 3^{k+1} - 3}{2} = \frac{3 \times 3^{k+1} - 3}{2}$

Finalmente, esto se simplifica a:

$\frac{3}{2} \times (3^{k+1} - 1)$

Lo cual demuestra que la igualdad es cierta para $n = k + 1$.

Conclusión

Dado que hemos verificado la base de la inducción y hemos demostrado el paso de inducción, podemos concluir que la igualdad

$3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n = \frac{3}{2} \times (3^n - 1)$

es cierta para todo $n \geq 1$.

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¿Te gustaría explorar algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo podríamos adaptar esta demostración para una serie con un exponente diferente, como $2^n$ o $4^n$?
2. ¿Qué sucede si cambiamos la constante en la serie? Por ejemplo, $4 + 4^2 + 4^3 + \cdots + 4^n$.
3. ¿Por qué es importante el uso de la hipótesis de inducción en estas demostraciones?
4. ¿Podrías describir una aplicación de este tipo de series en problemas de ingeniería o ciencia de datos?
5. ¿Cómo cambiaría la demostración si el índice de la suma comenzara desde un número diferente a 1?

Tip: Al trabajar con series geométricas, es útil recordar que los patrones recurrentes y las fórmulas de suma pueden ser herramientas poderosas para simplificar las expresiones y encontrar soluciones rápidas.