Ejercicios. Demuestra por inducción matemática. 3+3^ 2 +3^ 3 +***+ 3 ^ n = 3/2 * (3 ^ n - 1)

Para demostrar la igualdad \(3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n = \frac{3}{2} \times (3^n - 1)\) por inducción matemática, seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Base de la inducción
Verificamos si la igualdad es cierta para \(n = 1\).

Para \(n = 1\), el lado izquierdo de la ecuación es:

\[
3 = 3
\]

El lado derecho de la ecuación es:

\[
\frac{3}{2} \times (3^1 - 1) = \frac{3}{2} \times (3 - 1) = \frac{3}{2} \times 2 = 3
\]

La igualdad se cumple para \(n = 1\).

### Paso 2: Hipótesis de inducción
Supongamos que la igualdad es cierta para \(n = k\), es decir,

\[
3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^k = \frac{3}{2} \times (3^k - 1)
\]

### Paso 3: Paso de inducción
Debemos demostrar que la igualdad también se cumple para \(n = k + 1\), es decir, demostrar que

\[
3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^k + 3^{k+1} = \frac{3}{2} \times (3^{k+1} - 1)
\]

Utilizando la hipótesis de inducción, tenemos:

\[
3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^k + 3^{k+1} = \frac{3}{2} \times (3^k - 1) + 3^{k+1}
\]

Simplificamos la expresión:

\[
\frac{3}{2} \times (3^k - 1) + 3^{k+1} = \frac{3 \times 3^k - 3 + 2 \times 3^{k+1}}{2}
\]

Observamos que \(3^{k+1} = 3 \times 3^k\), así que sustituimos:

\[
\frac{3}{2} \times (3^k - 1) + 3^{k+1} = \frac{3^{k+1} - 3 + 2 \times 3^{k+1}}{2}
\]

Agrupamos y simplificamos:

\[
= \frac{3^{k+1} - 3 + 2 \times 3^{k+1}}{2} = \frac{3^{k+1} + 3^{k+1} - 3}{2} = \frac{3 \times 3^{k+1} - 3}{2}
\]

Finalmente, esto se simplifica a:

\[
\frac{3}{2} \times (3^{k+1} - 1)
\]

Lo cual demuestra que la igualdad es cierta para \(n = k + 1\).

### Conclusión
Dado que hemos verificado la base de la inducción y hemos demostrado el paso de inducción, podemos concluir que la igualdad

\[
3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n = \frac{3}{2} \times (3^n - 1)
\]

es cierta para todo \(n \geq 1\).

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¿Te gustaría explorar algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo podríamos adaptar esta demostración para una serie con un exponente diferente, como \(2^n\) o \(4^n\)?
2. ¿Qué sucede si cambiamos la constante en la serie? Por ejemplo, \(4 + 4^2 + 4^3 + \cdots + 4^n\).
3. ¿Por qué es importante el uso de la hipótesis de inducción en estas demostraciones?
4. ¿Podrías describir una aplicación de este tipo de series en problemas de ingeniería o ciencia de datos?
5. ¿Cómo cambiaría la demostración si el índice de la suma comenzara desde un número diferente a 1?

**Tip:** Al trabajar con series geométricas, es útil recordar que los patrones recurrentes y las fórmulas de suma pueden ser herramientas poderosas para simplificar las expresiones y encontrar soluciones rápidas.

Learn how to prove the mathematical induction statement: 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^n = 3/2 * (3^n - 1). This problem involves mathematical induction and geometric series, showcasing exponential growth concepts. Suitable for students in Grades 10-12.

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