udowodnij ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierownosc a)x^2+y^2-x(y+1)>=y-1

Aby udowodnić nierówność:
\[
x^2 + y^2 - x(y + 1) \geq y - 1
\]
dla dowolnych liczb rzeczywistych \( x \) i \( y \), przekształcimy ją krok po kroku.

### 1. Przekształcenie lewej strony nierówności
Zaczniemy od lewej strony nierówności:
\[
x^2 + y^2 - x(y + 1).
\]
Rozwińmy to wyrażenie, aby ułatwić analizę:
\[
x^2 + y^2 - xy - x.
\]

### 2. Przekształcenie prawej strony nierówności
Prawa strona nierówności to:
\[
y - 1.
\]

Mamy teraz do udowodnienia nierówność:
\[
x^2 + y^2 - xy - x \geq y - 1.
\]

### 3. Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę
Przekształcimy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę:
\[
x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 \geq 0.
\]

### 4. Próba rozkładu na czynniki
Spróbujmy uprościć lub rozłożyć wyrażenie po lewej stronie. Wykorzystamy kwadrat sumy lub różnicy, aby wyrażenie po lewej stronie przyjęło formę, która jest zawsze nieujemna.

Spójrzmy na wyrażenie:
\[
x^2 - xy + y^2 + (-x - y + 1).
\]

Wydaje się, że dalsze przekształcenia będą wymagały oceny przypadku lub metod numerycznych w celu wykazania nieujemności

Explore how to prove the inequality x^2 + y^2 - x(y+1) >= y - 1 for any real numbers x and y. This solution breaks down key algebraic techniques and simplifications involved in inequalities, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation