Aby udowodnić nierówność: $x^2 + y^2 - x(y + 1) \geq y - 1$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$, przekształcimy ją krok po kroku.

1. Przekształcenie lewej strony nierówności

Zaczniemy od lewej strony nierówności: $x^2 + y^2 - x(y + 1).$ Rozwińmy to wyrażenie, aby ułatwić analizę: $x^2 + y^2 - xy - x.$

2. Przekształcenie prawej strony nierówności

Prawa strona nierówności to: $y - 1.$

Mamy teraz do udowodnienia nierówność: $x^2 + y^2 - xy - x \geq y - 1.$

3. Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę

Przekształcimy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę: $x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 \geq 0.$

4. Próba rozkładu na czynniki

Spróbujmy uprościć lub rozłożyć wyrażenie po lewej stronie. Wykorzystamy kwadrat sumy lub różnicy, aby wyrażenie po lewej stronie przyjęło formę, która jest zawsze nieujemna.

Spójrzmy na wyrażenie: $x^2 - xy + y^2 + (-x - y + 1).$

Wydaje się, że dalsze przekształcenia będą wymagały oceny przypadku lub metod numerycznych w celu wykazania nieujemności