On doit prouver que :

$(\csc x - \cot x)^2 = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$

sans modifier le côté droit de l’équation.

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Étape 1 : Écrire en termes de $\sin x$ et $\cos x$

On rappelle les identités suivantes :

• $\csc x = \frac{1}{\sin x}$
• $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Ainsi, on réécrit le membre de gauche :

$\csc x - \cot x = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x}$

$= \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

Étape 2 : Élever au carré

On élève l'expression précédente au carré :

$(\csc x - \cot x)^2 = \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)^2$

$= \frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}$

Étape 3 : Utiliser une identité trigonométrique

On utilise l'identité fondamentale :

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

et le fait que $1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$, donc :

$\sin^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$

Ainsi, on peut écrire :

$(\csc x - \cot x)^2 = \frac{(1 - \cos x)^2}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

Étape 4 : Simplifier

On simplifie l’expression :

$(\csc x - \cot x)^2 = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$

Ce qui est exactement le côté droit de l’équation. L'égalité est donc prouvée ! ✅

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As-tu des questions ou veux-tu plus de détails ?

Voici 5 questions similaires pour t'entraîner :

1. Montre que $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan \frac{x}{2}$.
2. Développe et simplifie $(\sec x - \tan x)^2$.
3. Prouve que $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$.
4. Déduis une autre forme de $\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ à partir des identités trigonométriques.
5. Montre que $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$.

🔎 Astuce : Lorsqu'une expression trigonométrique contient des $\csc x$ et $\cot x$, il est souvent utile de les convertir en termes de $\sin x$ et $\cos x$ pour simplifier les calculs.