Montrer que la famille (b ? 1 , . . . , b? n ) est l’unique famille de E? satisfaisant pour tout les entiers k, l ∈ {1, . . . , n} les relations hb ? k , bliE?,E = ( 1 si k = l, 0 sinon.

Pour démontrer que la famille \((b_1^\star, \dots, b_n^\star)\) est l'unique famille de \(E^\star\) (l'espace dual de \(E\)) qui satisfait les relations :

\[
\langle b_k^\star, b_l \rangle_{E^\star, E} = 
\begin{cases} 
1 & \text{si } k = l, \\
0 & \text{sinon},
\end{cases}
\]
pour tous les entiers \(k, l \in \{1, \dots, n\}\), nous allons procéder par plusieurs étapes. Cette démonstration repose sur des propriétés de l’espace dual et des formes linéaires.

### 1. Définition de la base duale

Soit \(\{b_1, \dots, b_n\}\) une base de l’espace vectoriel \(E\). Il est connu qu’il existe une unique base \(\{b_1^\star, \dots, b_n^\star\}\) dans l’espace dual \(E^\star\) telle que pour tout \(k, l \in \{1, \dots, n\}\) :

\[
b_k^\star(b_l) = \langle b_k^\star, b_l \rangle_{E^\star, E} =
\begin{cases} 
1 & \text{si } k = l, \\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]

Cette base \(\{b_1^\star, \dots, b_n^\star\}\) est appelée **la base duale** de la base \(\{b_1, \dots, b_n\}\). Cela signifie que chaque \(b_k^\star\) est une forme linéaire qui "sélectionne" uniquement le vecteur correspondant \(b_k\) de la base.

### 2. Existence d'une famille duale

On sait que pour toute base d’un espace vectoriel \(E\), il existe une base duale correspondante dans \(E^\star\). Cela garantit que la famille \((b_1^\star, \dots, b_n^\star)\) existe dans \(E^\star\) et satisfait les relations données.

### 3. Unicité de la base duale

Montrons maintenant que cette famille est **unique**. Supposons qu’il existe une autre famille \((b_1^\dagger, \dots, b_n^\dagger)\) dans \(E^\star\) satisfaisant les mêmes relations, à savoir :

\[
\langle b_k^\dagger, b_l \rangle_{E^\star, E} = 
\begin{cases} 
1 & \text{si } k = l, \\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]

Alors, pour chaque \(k \in \{1, \dots, n\}\), on a à la fois :

\[
\langle b_k^\star, b_l \rangle_{E^\star, E} = \langle b_k^\dagger, b_l \rangle_{E^\star, E}
\]
pour tout \(l \in \{1, \dots, n\}\).

Cela implique que pour chaque \(k\), les formes linéaires \(b_k^\star\) et \(b_k^\dagger\) coïncident sur la base \(\{b_1, \dots, b_n\}\) de \(E\). Or, une forme linéaire sur un espace vectoriel est entièrement déterminée par ses valeurs sur une base. Donc, \(b_k^\star = b_k^\dagger\) pour tout \(k \in \{1, \dots, n\}\).

Ainsi, la famille \((b_1^\star, \dots, b_n^\star)\) est **unique**.

### Conclusion

Nous avons montré que la famille \((b_1^\star, \dots, b_n^\star)\) est l’unique famille dans \(E^\star\) qui satisfait les relations \(\langle b_k^\star, b_l \rangle_{E^\star, E} = \delta_{kl}\), où \(\delta_{kl}\) est le symbole de Kronecker (qui vaut 1 si \(k = l\) et 0 sinon). Cela provient de la définition de la base duale et de l'unicité des formes linéaires associées à une base donnée.

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Est-ce que vous aimeriez des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir ce sujet :

1. Qu'est-ce qu'une forme linéaire dans un espace vectoriel ?
2. Comment prouve-t-on l'existence d'une base duale pour tout espace vectoriel de dimension finie ?
3. Que se passe-t-il si l'espace \(E\) est de dimension infinie ? La base duale existe-t-elle encore ?
4. Comment peut-on exprimer une forme linéaire quelconque dans l'espace \(E^\star\) en termes de la base duale ?
5. Quelles sont les applications des bases duales dans des contextes pratiques, comme la mécanique quantique ou les transformations linéaires ?

**Astuce :** Pour mieux comprendre l’espace dual, essayez d’appliquer ces notions à des espaces vectoriels simples comme \(\mathbb{R}^2\) ou \(\mathbb{R}^3\), et construisez explicitement des bases duales.

Montrer que la famille (b_1^*, ..., b_n^*) est l’unique famille de E* satisfaisant pour tout les entiers k, l ∈ {1, ..., n} les relations ⟨b_k^*, b_l⟩_{E*,E} = ( 1 si k = l, 0 sinon).

This solution proves the uniqueness of the dual base (b_1^*, ..., b_n^*) in the dual space E*. It satisfies the relation ⟨b_k^*, b_l⟩_{E*, E} = 1 when k = l and 0 otherwise. Learn about dual spaces, the Kronecker delta, and the uniqueness of linear forms in vector spaces.

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