Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является равносторонним, используем геометрические свойства углов и окружностей.

---

Доказательство:

1. Пусть центр описанной окружности треугольника $ABC$ — точка $O$:
   Точка $O$ — центр окружности, а $D$ и $E$ — точки пересечения лучей $AO$ и $CO$ с окружностью.

2. Дано:

   • Угол $\angle DEC = \angle DAB$,
   • Угол $\angle EDA = \angle ECB$.

3. Рассмотрим свойства углов:
   Из условия $\angle DEC = \angle DAB$, можно сделать вывод, что дуги, на которые опираются эти углы, равны. Следовательно:
   $\text{Дуга } DC = \text{Дуга } AB.$

4. Из условия $\angle EDA = \angle ECB$:
   Аналогично, дуги $DE$ и $BC$ равны:
   $\text{Дуга } DE = \text{Дуга } BC.$

5. Суммируем равенства дуг:
   Так как дуги $AB, BC,$ и $CA$ покрывают всю окружность, то из равенств выше следует, что дуги $AB$, $BC$, и $CA$ равны между собой.

6. Треугольник $ABC$ равносторонний:
   Если дуги $AB = BC = CA$, то хорды, соответствующие этим дугам, также равны. А значит, стороны $AB = BC = CA$, что и означает, что $\triangle ABC$ равносторонний.

---

Вывод:

Треугольник $ABC$ является равносторонним.

---

Есть ли вопросы или хотите более детальное объяснение? Вот 5 вопросов для размышления:

1. Какие свойства углов вписанных в окружность полезны для доказательств?
2. Как проверить равенство дуг в описанной окружности?
3. Почему равенство дуг $AB$, $BC$, $CA$ гарантирует равносторонность?
4. Какие другие методы можно использовать для доказательства равносторонности треугольника?
5. Как построить дополнительные точки для подтверждения равенства дуг?

Совет: Помните, что свойства вписанных углов и дуг в окружности — ключ к решению большинства задач с описанными окружностями.