For at bevise $e^x > 1 + x$ for $x > 0$ ved hjælp af sekantsetningen (også kaldet middelværdisætningen for sekant), skal vi overveje følgende trin:

1. Funktion og afledet funktion:

Vi betragter funktionen $f(x) = e^x - (1 + x)$. Vi vil vise, at denne funktion er positiv for $x > 0$, hvilket indebærer, at $e^x > 1 + x$.

• $f(x) = e^x - (1 + x)$
• Afledet af funktionen er $f'(x) = e^x - 1$.

2. Sekantsetningen:

Sekantsetningen siger, at for en kontinuerlig funktion $f(x)$ på et interval $[a, b]$, der også er differentiabel på det åbne interval $(a, b)$, eksisterer der et punkt $c \in (a, b)$, sådan at: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ Her vil vi anvende sekantsetningen på funktionen $f(x)$ over intervallet $[0, x]$, hvor $x > 0$. Vi får: $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(c)$ for et $c \in (0, x)$.

3. Beregning ved grænseværdierne:

Lad os nu beregne $f(0)$ og $f'(c)$:

• $f(0) = e^0 - (1 + 0) = 1 - 1 = 0$
• Så sekantsetningen giver os: $\frac{f(x) - 0}{x} = f'(c)$ $\frac{e^x - (1 + x)}{x} = e^c - 1$ for et $c \in (0, x)$.

4. Fortolkning af resultatet:

Da $e^c > 1$ for alle $c > 0$, følger det, at højresiden, $e^c - 1$, er positiv. Dermed er venstresiden $\frac{e^x - (1 + x)}{x}$ også positiv, hvilket betyder, at: $e^x - (1 + x) > 0$ og derfor: $e^x > 1 + x$ for alle $x > 0$.

Konklusion:

Ved hjælp af sekantsetningen har vi vist, at $e^x > 1 + x$ for $x > 0$.

Har du brug for yderligere detaljer eller spørgsmål?

Her er 5 relaterede spørgsmål:

1. Hvordan fungerer middelværdisætningen i andre sammenhænge?
2. Hvilken rolle spiller afledede funktioner i beviset?
3. Hvordan kan vi generalisere uligheden til andre funktioner?
4. Hvordan kan sekantsetningen anvendes på eksponentialfunktioner generelt?
5. Kan vi bruge Taylorpolynomier til at bevise samme ulighed?

Tip: Sekantsetningen er ofte nyttig i analyse til at forbinde funktionsværdier med deres afledede uden at kende den eksakte funktion over hele intervallet.