bevis at e^x>1+x for x>0 med sekantsetningen

For at bevise \( e^x > 1 + x \) for \( x > 0 \) ved hjælp af **sekantsetningen** (også kaldet **middelværdisætningen for sekant**), skal vi overveje følgende trin:

### 1. Funktion og afledet funktion:
Vi betragter funktionen \( f(x) = e^x - (1 + x) \). Vi vil vise, at denne funktion er positiv for \( x > 0 \), hvilket indebærer, at \( e^x > 1 + x \).

- \( f(x) = e^x - (1 + x) \)
- Afledet af funktionen er \( f'(x) = e^x - 1 \).

### 2. Sekantsetningen:
Sekantsetningen siger, at for en kontinuerlig funktion \( f(x) \) på et interval \([a, b]\), der også er differentiabel på det åbne interval \( (a, b) \), eksisterer der et punkt \( c \in (a, b) \), sådan at:
\[
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)
\]
Her vil vi anvende sekantsetningen på funktionen \( f(x) \) over intervallet \( [0, x] \), hvor \( x > 0 \). Vi får:
\[
\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(c)
\]
for et \( c \in (0, x) \).

### 3. Beregning ved grænseværdierne:
Lad os nu beregne \( f(0) \) og \( f'(c) \):
- \( f(0) = e^0 - (1 + 0) = 1 - 1 = 0 \)
- Så sekantsetningen giver os:
\[
\frac{f(x) - 0}{x} = f'(c)
\]
\[
\frac{e^x - (1 + x)}{x} = e^c - 1
\]
for et \( c \in (0, x) \).

### 4. Fortolkning af resultatet:
Da \( e^c > 1 \) for alle \( c > 0 \), følger det, at højresiden, \( e^c - 1 \), er positiv. Dermed er venstresiden \( \frac{e^x - (1 + x)}{x} \) også positiv, hvilket betyder, at:
\[
e^x - (1 + x) > 0
\]
og derfor:
\[
e^x > 1 + x
\]
for alle \( x > 0 \).

### Konklusion:
Ved hjælp af sekantsetningen har vi vist, at \( e^x > 1 + x \) for \( x > 0 \).

Har du brug for yderligere detaljer eller spørgsmål?

Her er 5 relaterede spørgsmål:
1. Hvordan fungerer middelværdisætningen i andre sammenhænge?
2. Hvilken rolle spiller afledede funktioner i beviset?
3. Hvordan kan vi generalisere uligheden til andre funktioner?
4. Hvordan kan sekantsetningen anvendes på eksponentialfunktioner generelt?
5. Kan vi bruge Taylorpolynomier til at bevise samme ulighed?

**Tip**: Sekantsetningen er ofte nyttig i analyse til at forbinde funktionsværdier med deres afledede uden at kende den eksakte funktion over hele intervallet.

This detailed proof shows how to use the Mean Value Theorem (Secant Theorem) to demonstrate that e^x is greater than 1 + x for x > 0. Learn the key steps, formulas, and theorems involved in this classical calculus problem, ideal for undergraduate-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation