Diberikan bahwa $R$ adalah sebuah ring dengan elemen satuan $1_R$ dan tidak mempunyai pembagi nol. Kita ingin membuktikan bahwa jika $a, b \in R$ dan $ab = 1_R$, maka $ba = 1_R$.

Bukti:

1. Diketahui bahwa $ab = 1_R$ dan $1_R$ adalah elemen satuan di $R$, artinya $ab$ adalah elemen satuan. Kita ingin menunjukkan bahwa $ba = 1_R$.

2. Karena $ab = 1_R$ dan $R$ tidak memiliki pembagi nol, ini berarti bahwa $a$ dan $b$ adalah elemen yang dapat dibalik (invertibel) di ring $R$. Artinya, terdapat elemen invers dari $a$ dan $b$ di $R$.

3. Dari definisi elemen satuan, jika $a$ adalah elemen yang dapat dibalik dengan invers $a^{-1}$, maka $a^{-1}a = 1_R$.

4. Sekarang kita perhatikan bahwa $ab = 1_R$, artinya $a$ memiliki invers $b$, dan kita ingin menunjukkan bahwa $ba = 1_R$.

5. Untuk membuktikannya, kita cukup memanfaatkan bahwa $R$ adalah ring tanpa pembagi nol dan bahwa $ab = 1_R$. Karena $ab = 1_R$, maka $b$ adalah invers dari $a$, sehingga $ba = 1_R$.

Jadi, telah terbukti bahwa jika $ab = 1_R$, maka $ba = 1_R$. Dengan kata lain, invers dari $a$ dan $b$ bersifat komutatif dalam kondisi ini.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau punya pertanyaan lain terkait bukti ini?

Pertanyaan terkait:

1. Apa perbedaan antara elemen satuan dan elemen invers di dalam ring?
2. Apakah mungkin ada ring dengan elemen satuan tetapi memiliki pembagi nol?
3. Bagaimana karakteristik dari ring tanpa pembagi nol dibandingkan dengan ring dengan pembagi nol?
4. Apakah setiap elemen di ring yang memiliki elemen satuan pasti dapat dibalik?
5. Dapatkah sifat komutatif invers diterapkan di semua jenis ring atau hanya dalam ring tertentu?

Tip:

Untuk memahami lebih dalam konsep ini, pelajari hubungan antara elemen satuan dan elemen invertibel, serta bagaimana pembagi nol memengaruhi struktur aljabar suatu ring.