Egy lövedéket v1 = 97 m/s nagyságú sebességgel alpha = 60o-os szög alatt indítunk el függőleges síkban. Egy másik lövedéket 4,5 s-mal később indítunk el beta = 45o-os szög alatt. Milyen nagyságú v2 kezdősebességgel kell a második lövedéket indítani (m/s-ban), hogy a két lövedék találkozzon?

Ez a probléma a klasszikus mechanikában a ferde hajítás (projectile motion) esete, ahol két lövedék találkozásának feltételeit kell meghatározni. A célunk az, hogy meghatározzuk a második lövedék \( v_2 \) kezdősebességét, amely biztosítja, hogy a két lövedék azonos időpontban és azonos helyen legyen.

### Lépések:

1. **Első lövedék egyenletei:**
   - Az első lövedéket \( v_1 = 97 \, \text{m/s} \) sebességgel lövik ki \( \alpha = 60^\circ \)-os szög alatt.
   - A vízszintes és függőleges komponensek:
     \[
     v_{1x} = v_1 \cdot \cos(\alpha), \quad v_{1y} = v_1 \cdot \sin(\alpha)
     \]
   - Az első lövedék mozgása a következőképpen írható le:
     \[
     x_1(t) = v_{1x} \cdot t = v_1 \cdot \cos(\alpha) \cdot t
     \]
     \[
     y_1(t) = v_{1y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = v_1 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2
     \]
   - Ahol \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) a gravitációs gyorsulás.

2. **Második lövedék egyenletei:**
   - A második lövedéket 4,5 másodperccel később lövik ki \( v_2 \)-val, és \( \beta = 45^\circ \)-os szög alatt.
   - Az időbeli különbség miatt a második lövedék egyenletei:
     \[
     x_2(t') = v_2 \cdot \cos(\beta) \cdot t', \quad y_2(t') = v_2 \cdot \sin(\beta) \cdot t' - \frac{1}{2} g {t'}^2
     \]
     Ahol \( t' = t - 4.5 \) a második lövedék időkoordinátája.

3. **Találkozási feltételek:**
   A két lövedék akkor találkozik, ha azonos időben ugyanott vannak, azaz az \( x \) és \( y \) koordinátáik egyenlőek:
   \[
   x_1(t) = x_2(t') \quad \text{és} \quad y_1(t) = y_2(t')
   \]
   Ezeket a feltételeket kell egyenletbe foglalnunk, és megoldanunk \( v_2 \)-ra.

Kezdjük a vízszintes összetevővel, \( x_1(t) = x_2(t') \):
\[
v_1 \cdot \cos(\alpha) \cdot t = v_2 \cdot \cos(\beta) \cdot (t - 4.5)
\]
Oldjuk meg ezt az egyenletet \( v_2 \)-ra:
\[
v_2 = \frac{v_1 \cdot \cos(\alpha) \cdot t}{\cos(\beta) \cdot (t - 4.5)}
\]

Ezután vegyük figyelembe, hogy a \( y \) koordinátáik is egyenlőek kell legyenek:
\[
v_1 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = v_2 \cdot \sin(\beta) \cdot (t - 4.5) - \frac{1}{2} g (t - 4.5)^2
\]
Az előbbi \( v_2 \)-re kapott kifejezést helyettesítjük ebbe az egyenletbe, és megoldjuk \( t \)-re, majd kiszámoljuk \( v_2 \)-t.

Nézzük meg, hogyan néz ki ez számolva.A számítások alapján a második lövedéket \( v_2 \approx 112.71 \, \text{m/s} \) kezdősebességgel kell elindítani ahhoz, hogy a két lövedék találkozzon.

Van esetleg kérdésed, vagy szeretnél részletesebb magyarázatot a megoldásra?

### Kapcsolódó kérdések:
1. Hogyan befolyásolja a szög a lövedék röppályáját és találkozási esélyeit?
2. Miért fontos a vízszintes és függőleges komponensek külön kezelése ferde hajításnál?
3. Hogyan változik a találkozási pont, ha a második lövedéket hosszabb késleltetéssel indítjuk?
4. Milyen lenne a két lövedék röppályája, ha a gravitáció nem lenne jelen?
5. Hogyan számolható ki a maximális magasság és a hatótávolság ferde hajítás esetén?

### Tipp:
Ferde hajításnál a kezdősebesség komponensekre bontása mindig hasznos, mivel így a mozgás két független dimenzióban kezelhető (vízszintes és függőleges).

Solve a challenging projectile motion problem where two projectiles are launched at different angles and times. Learn how to calculate the initial velocity of the second projectile to ensure the two objects meet. This example involves key concepts from kinematics, trigonometry, and projectile motion, suitable for advanced high school or university physics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation