Ez a probléma a klasszikus mechanikában a ferde hajítás (projectile motion) esete, ahol két lövedék találkozásának feltételeit kell meghatározni. A célunk az, hogy meghatározzuk a második lövedék $v_2$ kezdősebességét, amely biztosítja, hogy a két lövedék azonos időpontban és azonos helyen legyen.

Lépések:

1. Első lövedék egyenletei:

   • Az első lövedéket $v_1 = 97 \, \text{m/s}$ sebességgel lövik ki $\alpha = 60^\circ$-os szög alatt.
   • A vízszintes és függőleges komponensek: $v_{1x} = v_1 \cdot \cos(\alpha), \quad v_{1y} = v_1 \cdot \sin(\alpha)$
   • Az első lövedék mozgása a következőképpen írható le: $x_1(t) = v_{1x} \cdot t = v_1 \cdot \cos(\alpha) \cdot t$ $y_1(t) = v_{1y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = v_1 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$
   • Ahol $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ a gravitációs gyorsulás.

2. Második lövedék egyenletei:

   • A második lövedéket 4,5 másodperccel később lövik ki $v_2$-val, és $\beta = 45^\circ$-os szög alatt.
   • Az időbeli különbség miatt a második lövedék egyenletei: $x_2(t') = v_2 \cdot \cos(\beta) \cdot t', \quad y_2(t') = v_2 \cdot \sin(\beta) \cdot t' - \frac{1}{2} g {t'}^2$ Ahol $t' = t - 4.5$ a második lövedék időkoordinátája.

3. Találkozási feltételek: A két lövedék akkor találkozik, ha azonos időben ugyanott vannak, azaz az $x$ és $y$ koordinátáik egyenlőek: $x_1(t) = x_2(t') \quad \text{és} \quad y_1(t) = y_2(t')$ Ezeket a feltételeket kell egyenletbe foglalnunk, és megoldanunk $v_2$-ra.

Kezdjük a vízszintes összetevővel, $x_1(t) = x_2(t')$: $v_1 \cdot \cos(\alpha) \cdot t = v_2 \cdot \cos(\beta) \cdot (t - 4.5)$ Oldjuk meg ezt az egyenletet $v_2$-ra: $v_2 = \frac{v_1 \cdot \cos(\alpha) \cdot t}{\cos(\beta) \cdot (t - 4.5)}$

Ezután vegyük figyelembe, hogy a $y$ koordinátáik is egyenlőek kell legyenek: $v_1 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = v_2 \cdot \sin(\beta) \cdot (t - 4.5) - \frac{1}{2} g (t - 4.5)^2$ Az előbbi $v_2$-re kapott kifejezést helyettesítjük ebbe az egyenletbe, és megoldjuk $t$-re, majd kiszámoljuk $v_2$-t.

Nézzük meg, hogyan néz ki ez számolva.A számítások alapján a második lövedéket $v_2 \approx 112.71 \, \text{m/s}$ kezdősebességgel kell elindítani ahhoz, hogy a két lövedék találkozzon.

Van esetleg kérdésed, vagy szeretnél részletesebb magyarázatot a megoldásra?

Kapcsolódó kérdések:

1. Hogyan befolyásolja a szög a lövedék röppályáját és találkozási esélyeit?
2. Miért fontos a vízszintes és függőleges komponensek külön kezelése ferde hajításnál?
3. Hogyan változik a találkozási pont, ha a második lövedéket hosszabb késleltetéssel indítjuk?
4. Milyen lenne a két lövedék röppályája, ha a gravitáció nem lenne jelen?
5. Hogyan számolható ki a maximális magasság és a hatótávolság ferde hajítás esetén?

Tipp:

Ferde hajításnál a kezdősebesség komponensekre bontása mindig hasznos, mivel így a mozgás két független dimenzióban kezelhető (vízszintes és függőleges).