Math Problem Statement
Із проміжку [0; 2] вибираються навмання 2 дійсні числа. Знайдіть імовірність того, що їхня сума буде більша, за 2, а добуток —менший за 2.
Solution
Розв'язок цієї задачі полягає в обчисленні ймовірності для випадкових чисел та , вибраних з проміжку , що виконуються дві умови:
Ми будемо трактувати цю задачу геометрично. Оскільки і вибираються з інтервалу , вони утворюють прямокутник у площині з координатами , де і .
1. Умова
Ця нерівність визначає область, що лежить вище прямої , тобто область у верхній частині прямокутника, яка розділяється цією лінією. Вона виглядає як трикутник з вершиною в точці , та .
2. Умова
Ця нерівність визначає область, що лежить під гіперболою . Вона має вигляд кривої, яка проходить через точки і , і на якій значення добутку дорівнює 2.
Геометричний підхід до задачі
Ми можемо знайти площу області, яка одночасно задовольняє обидві умови:
- площа, що лежить вище прямої
- площа, що лежить під гіперболою
В результаті необхідно знайти перетин цих двох областей.
Обчислення площі
- Площа прямокутника: Повна площа прямокутника, де вибираються числа і , дорівнює .
- Площа перетину умов: Обчислимо площу перетину, що відповідає одночасному виконанню обох умов та .
Імовірність буде рівна відношенню площі цього перетину до площі всього прямокутника.
Цей розрахунок потребує певних інтегралів або числового методу, щоб точно знайти площу.
Чи хочете, щоб я детальніше пояснив розрахунки або провів числове оцінювання?
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability
Geometric Probability
Inequalities
Integrals
Hyperbolas
Formulas
x + y > 2
x * y < 2
Theorems
Geometric Probability Theory
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
Probability of Sum Greater Than or Equal to 8 for Two Random Numbers Between 0 and 10
Probability of Product of Two Numbers Being Less Than 1/2 or 1/4
Finding Probability in a Uniform Distribution Over Interval [-12, 12]
Probability Distribution for Intervals within [2, 9]
Probability in Circle Intersection: Distance from Origin Less Than 3 Units