Math Problem Statement

Із проміжку [0; 2] вибираються навмання 2 дійсні числа. Знайдіть імовірність того, що їхня сума буде більша, за 2, а добуток —менший за 2.

Solution

Розв'язок цієї задачі полягає в обчисленні ймовірності для випадкових чисел xx та yy, вибраних з проміжку [0;2][0; 2], що виконуються дві умови:

  1. x+y>2x + y > 2
  2. xy<2x \cdot y < 2

Ми будемо трактувати цю задачу геометрично. Оскільки xx і yy вибираються з інтервалу [0;2][0; 2], вони утворюють прямокутник у площині з координатами (x,y)(x, y), де 0x20 \leq x \leq 2 і 0y20 \leq y \leq 2.

1. Умова x+y>2x + y > 2

Ця нерівність визначає область, що лежить вище прямої x+y=2x + y = 2, тобто область у верхній частині прямокутника, яка розділяється цією лінією. Вона виглядає як трикутник з вершиною в точці (0,2)(0, 2), (2,0)(2, 0) та (2,2)(2, 2).

2. Умова xy<2x \cdot y < 2

Ця нерівність визначає область, що лежить під гіперболою xy=2x \cdot y = 2. Вона має вигляд кривої, яка проходить через точки (1,2)(1, 2) і (2,1)(2, 1), і на якій значення добутку xyx \cdot y дорівнює 2.

Геометричний підхід до задачі

Ми можемо знайти площу області, яка одночасно задовольняє обидві умови:

  • площа, що лежить вище прямої x+y=2x + y = 2
  • площа, що лежить під гіперболою xy=2x \cdot y = 2

В результаті необхідно знайти перетин цих двох областей.

Обчислення площі

  1. Площа прямокутника: Повна площа прямокутника, де вибираються числа xx і yy, дорівнює 2×2=42 \times 2 = 4.
  2. Площа перетину умов: Обчислимо площу перетину, що відповідає одночасному виконанню обох умов x+y>2x + y > 2 та xy<2x \cdot y < 2.

Імовірність буде рівна відношенню площі цього перетину до площі всього прямокутника.

Цей розрахунок потребує певних інтегралів або числового методу, щоб точно знайти площу.

Чи хочете, щоб я детальніше пояснив розрахунки або провів числове оцінювання?

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Probability
Geometric Probability
Inequalities
Integrals
Hyperbolas

Formulas

x + y > 2
x * y < 2

Theorems

Geometric Probability Theory

Suitable Grade Level

Grades 11-12