В группе 6 студентов, каждый из которых независимо от других студентов

может не прийти на занятия с вероятностью 0,3. Занятие отменяется, если придёт менее

половины студентов группы. Какова вероятность, что занятие будет отменено?

Для решения задачи найдем вероятность того, что на занятия придёт менее половины студентов из группы (то есть 0, 1 или 2 студента). Это дискретная случайная величина \( X \), которая описывает число студентов, пришедших на занятия. \( X \) подчиняется биномиальному распределению:

\[
X \sim \text{Bin}(n=6, p=0.7),
\]
где \( n = 6 \) (число студентов), \( p = 0.7 \) (вероятность того, что студент придёт на занятия).

Занятие отменяется, если \( X < 3 \), то есть \( X = 0, 1, 2 \). Найдем вероятность отмены занятия как сумму вероятностей для этих случаев:

\[
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).
\]

Каждую вероятность \( P(X = k) \) вычисляем по формуле биномиального распределения:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
\]
где \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

---

### Вычисления

1. **Вероятность \( P(X = 0) \):**
\[
P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot 0.7^0 \cdot 0.3^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000729 = 0.000729.
\]

2. **Вероятность \( P(X = 1) \):**
\[
P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot 0.7^1 \cdot 0.3^5 = 6 \cdot 0.7 \cdot 0.00243 = 0.010206.
\]

3. **Вероятность \( P(X = 2) \):**
\[
P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^4 = 15 \cdot 0.49 \cdot 0.0081 = 0.059535.
\]

4. **Сумма вероятностей:**
\[
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.000729 + 0.010206 + 0.059535 = 0.07047.
\]

---

### Ответ
Вероятность, что занятие будет отменено, составляет **0.07047** (или примерно **7,05%**).

---

Хотите, чтобы я объяснил вычисления или разобрал похожий пример? 

### 5 вопросов для размышления:
1. Как изменится вероятность, если вероятность отсутствия студента увеличится?
2. Что произойдет с вероятностью отмены занятия, если в группе будет 10 студентов?
3. Можно ли использовать здесь приближение нормального распределения? Если да, то как?
4. Как изменится ответ, если занятие отменяется, когда присутствует менее 4 студентов?
5. Какие еще распределения, кроме биномиального, можно применить для моделирования таких задач?

### Совет:
При больших значениях \( n \) и \( p \), близких к 0,5, биномиальное распределение можно приближать нормальным для упрощения вычислений.

В группе 6 студентов, каждый из которых независимо от других студентов может не прийти на занятия с вероятностью 0,3. Занятие отменяется, если придёт менее половины студентов группы. Какова вероятность, что занятие будет отменено?

Calculate the probability that a class is canceled when each of the 6 students independently misses class with a probability of 0.3. Using the binomial distribution, find the likelihood that fewer than half the students attend. Step-by-step explanation included. Suitable for Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation