Рассмотрим утверждение: "если каждую задачу решил кто-то из студентов, то су- ществует студент, решивший все задачи". Запишите его в виде формулы логики предикатов,

зависящей от z, (область определения — задачи этого варианта) и s (область определения — студенты, пишущие этот экзамен), и использующую элементарный предикат Решил(x,z). Будет ли это утверждение тождественно истинным? А обратное к нему?

Данное утверждение можно записать на языке логики предикатов следующим образом:

\[
\left( \forall z \, \exists s \, \text{Решил}(s, z) \right) \rightarrow \exists s \, \forall z \, \text{Решил}(s, z)
\]

Где:
- \( z \) — переменная, представляющая задачи (область определения — задачи),
- \( s \) — переменная, представляющая студентов (область определения — студенты),
- \(\text{Решил}(s, z)\) — предикат, который истиннен, если студент \( s \) решил задачу \( z \).

### Интерпретация формулы:
- \(\forall z \, \exists s \, \text{Решил}(s, z)\): Для каждой задачи \( z \) найдётся хотя бы один студент \( s \), который её решил.
- \(\exists s \, \forall z \, \text{Решил}(s, z)\): Существует хотя бы один студент \( s \), который решил все задачи.

### Будет ли это утверждение тождественно истинным?

Это утверждение не является тождественно истинным. Оно истинно в некоторых случаях (например, если каждый студент решил все задачи или если все задачи решены одним студентом), но не во всех. Например, если каждая задача решена разными студентами, но ни один студент не решил все задачи, то импликация окажется ложной.

### Обратное утверждение:
Обратное утверждение имеет вид:

\[
\exists s \, \forall z \, \text{Решил}(s, z) \rightarrow \forall z \, \exists s \, \text{Решил}(s, z)
\]

Это утверждение будет тождественно истинным. Если существует хотя бы один студент, который решил все задачи, то, конечно, для каждой задачи найдётся студент (этот же студент), который решил её. Поэтому обратное утверждение всегда истинно.

### Вопросы для размышления:

1. Как интерпретировать импликацию на уровне отдельных студентов и задач?
2. Как бы изменилось исходное утверждение, если бы оно содержало квантор отрицания?
3. Какой контрпример можно привести, чтобы показать ложность первого утверждения?
4. Является ли данное утверждение теоретически доказуемым в рамках определённой

Рассмотрим утверждение: 'если каждую задачу решил кто-то из студентов, то существует студент, решивший все задачи'. Запишите его в виде формулы логики предикатов, зависящей от z, (область определения — задачи этого варианта) и s (область определения — студенты, пишущие этот экзамен), и использующую элементарный предикат Решил(x,z). Будет ли это утверждение тождественно истинным? А обратное к нему?

Explore the predicate logic problem where each task is solved by a student, and understand whether there exists a student who solved all tasks. This solution delves into logical implications and quantifiers, using predicate formulas. Suitable for undergraduate-level logic or discrete mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation