Math Problem Statement
A=(2 k 1 следующая строка k 1 0 следующая строка 1 0 3) при каких k квадратичная форма положительна
Solution
Для определения положительности квадратичной формы, связанной с матрицей , необходимо проверить, что матрица является положительно определённой. Матрица имеет вид:
2 & k & 1 \\ k & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$ Матрица будет положительно определённой, если все её главные миноры положительны. ### Проверим это по шагам: 1. **Первый минор (размер $$1 \times 1$$):** $$\Delta_1 = 2 > 0.$$ 2. **Второй минор (размер $$2 \times 2$$):** Рассмотрим подматрицу: $$\begin{pmatrix} 2 & k \\ k & 1 \end{pmatrix}.$$ Определитель: $$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & k \\ k & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - k^2 = 2 - k^2.$$ Для положительности: $$2 - k^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad k^2 < 2 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{2} < k < \sqrt{2}.$$ 3. **Третий минор (размер $$3 \times 3$$):** Используем исходную матрицу: $$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & k & 1 \\ k & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}.$$ Разложим по последней строке: $$\Delta_3 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - k \cdot \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}.$$ Вычислим каждый определитель: - \(\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 3\), - \(\begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = k \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1\). Подставляем: $$\Delta_3 = 2 \cdot 3 - k \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 6 + k - 1 = 5 + k.$$ Для положительности: $$5 + k > 0 \quad \Rightarrow \quad k > -5.$$ ### Итоговые условия: Матрица будет положительно определённой, если выполнены одновременно два условия: 1. $$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$$, 2. $$k > -5$$. Объединяя, получаем: $$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}.$$ ### Ответ: Квадратичная форма положительна, если $$k \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$$. --- Хотите подробнее разобрать вычисления или задать уточняющие вопросы? ### 5 вопросов: 1. Что означает положительность квадратичной формы в приложении к вашей задаче? 2. Хотите обсудить случаи, когда форма становится отрицательной? 3. Нужно ли проверить свойства других типов матриц (например, полуопределённость)? 4. Какой физический или геометрический смысл квадратичной формы в данной задаче? 5. Хотите разобрать другие примеры положительно определённых матриц? ### Один совет: Для быстрого анализа положительности квадратичной формы запомните правило: главные миноры должныAsk a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Positive Definite Matrices
Quadratic Forms
Matrix Determinants
Formulas
Determinant formula: det(A) = Σ (± a_i1 ... a_in)
Conditions for positive definite matrix: All leading principal minors > 0
Theorems
Sylvester's Criterion: A matrix is positive definite if all its leading principal minors are positive
Suitable Grade Level
Undergraduate (First Year) or Advanced High School