A=(2 k 1 следующая строка k 1 0 следующая строка 1 0 3) при каких k квадратичная форма положительна 

Для определения положительности квадратичной формы, связанной с матрицей \( A \), необходимо проверить, что матрица \( A \) является положительно определённой. Матрица \( A \) имеет вид:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & k & 1 \\
k & 1 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}.
\]

Матрица будет положительно определённой, если все её главные миноры положительны.

### Проверим это по шагам:

1. **Первый минор (размер \( 1 \times 1 \)):**
   \[
   \Delta_1 = 2 > 0.
   \]

2. **Второй минор (размер \( 2 \times 2 \)):**
   Рассмотрим подматрицу:
   \[
   \begin{pmatrix}
   2 & k \\
   k & 1
   \end{pmatrix}.
   \]
   Определитель:
   \[
   \Delta_2 = \begin{vmatrix}
   2 & k \\
   k & 1
   \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - k^2 = 2 - k^2.
   \]
   Для положительности:
   \[
   2 - k^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad k^2 < 2 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{2} < k < \sqrt{2}.
   \]

3. **Третий минор (размер \( 3 \times 3 \)):**
   Используем исходную матрицу:
   \[
   \Delta_3 = \begin{vmatrix}
   2 & k & 1 \\
   k & 1 & 0 \\
   1 & 0 & 3
   \end{vmatrix}.
   \]
   Разложим по последней строке:
   \[
   \Delta_3 = 2 \cdot \begin{vmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 3
   \end{vmatrix} - k \cdot \begin{vmatrix}
   k & 1 \\
   1 & 0
   \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
   k & 1 \\
   1 & 0
   \end{vmatrix}.
   \]
   Вычислим каждый определитель:
   - \(\begin{vmatrix}
   1 & 0 \\
   0 & 3
   \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 3\),
   - \(\begin{vmatrix}
   k & 1 \\
   1 & 0
   \end{vmatrix} = k \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1\).

   Подставляем:
   \[
   \Delta_3 = 2 \cdot 3 - k \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 6 + k - 1 = 5 + k.
   \]
   Для положительности:
   \[
   5 + k > 0 \quad \Rightarrow \quad k > -5.
   \]

### Итоговые условия:
Матрица будет положительно определённой, если выполнены одновременно два условия:
1. \(-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}\),
2. \(k > -5\).

Объединяя, получаем:
\[
-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}.
\]

### Ответ:
Квадратичная форма положительна, если \( k \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \).

---

Хотите подробнее разобрать вычисления или задать уточняющие вопросы?

### 5 вопросов:
1. Что означает положительность квадратичной формы в приложении к вашей задаче?
2. Хотите обсудить случаи, когда форма становится отрицательной?
3. Нужно ли проверить свойства других типов матриц (например, полуопределённость)?
4. Какой физический или геометрический смысл квадратичной формы в данной задаче?
5. Хотите разобрать другие примеры положительно определённых матриц?

### Один совет:
Для быстрого анализа положительности квадратичной формы запомните правило: главные миноры должны

A=(2 k 1 следующая строка k 1 0 следующая строка 1 0 3) при каких k квадратичная форма положительна

Explore how to determine the values of k that make the quadratic form associated with the matrix A = [[2, k, 1], [k, 1, 0], [1, 0, 3]] positive. Learn key concepts in linear algebra, including positive definite matrices, determinants, and Sylvester's criterion. Suitable for advanced high school and undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation