(Ajuste de datos). Supongamos tenemos una tabla de datos (xi
, yi), i = 1, . . . , n, y
queremos interpolar estos datos con un polinomio y evaluar la calidad (precisión) de la interpolación
realizada. Una forma de lograr esto es dejar algunos puntos en reserva, interpolar usando los puntos
restantes, y evaluar los errores en los puntos reservados. Si estos errores no son demasiado grandes,
entonces es razonable creer que el interpolador “captura la tendencia”de los datos.
La siguiente tabla muestra la viscosidad relativa V del etanol como función del porcentaje de
peso de soluto anhídrico w:
w 5 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100
V (w) 1.226 1.498 1.822 2.138 2.662 2.840 2.807 2.542 2.210 1.877 1.539 1.201
Supongamos que p5(w) interpola en w ∈ {10, 20, 40, 60, 80, 100}. Computar los errores en los
puntos reservados, y graficar p5(w) junto a los 12 datos. Visualmente, ¿dirías que p5(w) captura la
tendencia de los datos?
Ahora considerar p11(w) que interpola en todos los puntos. Graficar p11(w) y los 12 datos.
Visualmente, ¿captura p11(w) la tendencia de los datos?

Para resolver este problema, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Interpolar con un polinomio de grado 5** (`p_5(w)`) usando los puntos de \( w \in \{10, 20, 40, 60, 80, 100\} \).
2. **Calcular los errores en los puntos reservados** (es decir, los puntos \( w = \{5, 15, 30, 50, 70, 90\} \)).
3. **Graficar el polinomio interpolante** junto con los puntos originales y evaluar visualmente si el polinomio captura la tendencia de los datos.
4. **Interpolar con un polinomio de grado 11** (`p_{11}(w)`) usando todos los puntos.
5. **Graficar el polinomio de grado 11** junto con los puntos originales y evaluar visualmente si captura mejor la tendencia de los datos en comparación con el polinomio de grado 5.

### Paso 1: Interpolación de un polinomio de grado 5

El primer polinomio, \( p_5(w) \), se obtiene mediante la interpolación con los puntos seleccionados de \( w \). Vamos a usar el método de Lagrange o una función de interpolación polinómica como la de **Newton** o **lagrange**.

Los puntos seleccionados para \( p_5(w) \) son:
\[
w = \{10, 20, 40, 60, 80, 100\}, \quad V(w) = \{1.498, 2.138, 2.840, 2.542, 1.877, 1.201\}
\]

### Paso 2: Errores en los puntos reservados

Los puntos reservados para calcular los errores son:

\[
w = \{5, 15, 30, 50, 70, 90\}, \quad V(w) = \{1.226, 1.822, 2.662, 2.807, 2.210, 1.539\}
\]

Luego, calculamos el valor del polinomio \( p_5(w) \) en estos puntos y calculamos el error como la diferencia entre el valor real y el valor interpolado.

### Paso 3: Graficar \( p_5(w) \)

Graficamos el polinomio interpolante \( p_5(w) \) junto con los 12 puntos de datos originales para evaluar visualmente si el polinomio captura la tendencia de los datos.

### Paso 4: Interpolación de un polinomio de grado 11

Ahora, interpolamos los datos usando todos los puntos de la tabla. Este polinomio será de grado 11, y se debe ajustar perfectamente a todos los puntos.

\[
w = \{5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\}, \quad V(w) = \{1.226, 1.498, 1.822, 2.138, 2.662, 2.840, 2.807, 2.542, 2.210, 1.877, 1.539, 1.201\}
\]

### Paso 5: Graficar \( p_{11}(w) \)

Finalmente, graficamos el polinomio de grado 11 junto con los puntos originales para evaluar visualmente si captura la tendencia de los datos de manera más precisa que el polinomio de grado 5.

Voy a proceder con los cálculos numéricos y gráficos para los polinomios y errores.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. 

If you'd like to continue discussing the problem conceptually or have any further questions about interpolation, feel free to ask! Here are some related questions you might find helpful:

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2. How does the degree of a polynomial affect interpolation?
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5. What are some real-world applications of polynomial interpolation?

**Tip**: When using polynomial interpolation, higher-degree polynomials can sometimes lead to overfitting, so it's important to evaluate them visually and with error metrics!

Ajuste de datos. Supongamos tenemos una tabla de datos (xi, yi), i = 1, . . . , n, y queremos interpolar estos datos con un polinomio y evaluar la calidad (precisión) de la interpolación realizada. Una forma de lograr esto es dejar algunos puntos en reserva, interpolar usando los puntos restantes, y evaluar los errores en los puntos reservados. Si estos errores no son demasiado grandes, entonces es razonable creer que el interpolador “captura la tendencia” de los datos.

Learn how to perform polynomial interpolation using Lagrange and Newton methods, and evaluate the accuracy by computing errors at reserved data points. This guide explains the steps involved in interpolating data and visualizing error trends with real-world examples, such as the viscosity of ethanol.

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