https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726412001441e29oipfn.jpg

descompune acest calcul, in romana, fara gasirea solitii prin multe incercari, sa nu fie aleatoriu

Să descompunem expresia polinomială \( x^3 - 2x^2 + 2x - 1 \) fără a apela la încercări multiple și aleatorii. Vom folosi metoda rațională de descompunere a polinoamelor, cum ar fi factorizarea prin grupare și eventual utilizarea teoremei rădăcinilor raționale.

### Pas 1: Observare generală
Polinomul este de gradul 3, deci ne așteptăm ca, după factorizare, să fie produsul unui factor liniar (de forma \( x - a \)) și a unui factor de gradul 2 (de forma \( bx^2 + cx + d \)).

### Pas 2: Aplicarea teoremei rădăcinilor raționale
Teorema rădăcinilor raționale ne spune că, dacă există rădăcini raționale, acestea trebuie să fie divizori ai termenului liber (-1) împărțiți la divizorii coeficientului termenului de grad maxim (1). Posibilele rădăcini sunt: \( \pm 1 \).

### Pas 3: Verificarea rădăcinii \( x = 1 \)
Substituim \( x = 1 \) în polinom:
\[
f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0.
\]
Deci, \( x = 1 \) este o rădăcină a polinomului. Astfel, \( x - 1 \) este un factor.

### Pas 4: Împărțirea polinomului la \( x - 1 \)
Acum vom împărți polinomul \( x^3 - 2x^2 + 2x - 1 \) la \( x - 1 \) folosind metoda împărțirii polinoamelor:

\[
(x^3 - 2x^2 + 2x - 1) \div (x - 1).
\]

Realizăm împărțirea polinoamelor pas cu pas:
- Primul termen: \( x^2 \), deci \( x^2(x - 1) = x^3 - x^2 \).
- Scădem: \( (x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = -x^2 \).
- Continuăm cu \( -x^2 \div x = -x \), deci \( -x(x - 1) = -x^2 + x \).
- Scădem: \( (-x^2 + 2x) - (-x^2 + x) = x \).
- Ultimul pas: \( x \div x = 1 \), deci \( 1(x - 1) = x - 1 \).
- Scădem: \( (x - 1) - (x - 1) = 0 \).

Astfel, rezultatul împărțirii este \( x^2 - x + 1 \).

### Pas 5: Concluzie
Polinomul \( x^3 - 2x^2 + 2x - 1 \) se poate factoriza ca:
\[
x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = (x - 1)(x^2 - x + 1).
\]

Aceasta este descompunerea polinomului.

Dorești mai multe detalii despre procesul de factorizare sau ai alte întrebări legate de acest polinom?

### Întrebări suplimentare:
1. Cum se efectuează împărțirea polinoamelor pas cu pas?
2. Care este teorema rădăcinilor raționale și cum ne ajută la factorizare?
3. Cum putem rezolva ecuația \( (x - 1)(x^2 - x + 1) = 0 \) pentru a găsi rădăcinile?
4. Care sunt metodele alternative de factorizare pentru polinoame de grad 3?
5. Cum ne ajută metoda grupării termenilor în descompunerea polinoamelor?

### Sfat:
Când factorizezi un polinom de grad mai mare, încearcă întotdeauna să verifici dacă există rădăcini raționale care simplifică problema.

descompune acest calcul, in romana, fara gasirea solutiei prin multe incercari, sa nu fie aleatoriu

Learn how to factor the polynomial x^3 - 2x^2 + 2x - 1 without trial and error. This detailed step-by-step solution involves using the Rational Root Theorem and polynomial division. Suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation