Math Problem Statement

descompune acest calcul, in romana, fara gasirea solitii prin multe incercari, sa nu fie aleatoriu

descompune acest calcul, in romana, fara gasirea solutiei prin multe incercari, sa nu fie aleatoriu

Solution

Să descompunem expresia polinomială x32x2+2x1x^3 - 2x^2 + 2x - 1 fără a apela la încercări multiple și aleatorii. Vom folosi metoda rațională de descompunere a polinoamelor, cum ar fi factorizarea prin grupare și eventual utilizarea teoremei rădăcinilor raționale.

Pas 1: Observare generală

Polinomul este de gradul 3, deci ne așteptăm ca, după factorizare, să fie produsul unui factor liniar (de forma xax - a) și a unui factor de gradul 2 (de forma bx2+cx+dbx^2 + cx + d).

Pas 2: Aplicarea teoremei rădăcinilor raționale

Teorema rădăcinilor raționale ne spune că, dacă există rădăcini raționale, acestea trebuie să fie divizori ai termenului liber (-1) împărțiți la divizorii coeficientului termenului de grad maxim (1). Posibilele rădăcini sunt: ±1\pm 1.

Pas 3: Verificarea rădăcinii x=1x = 1

Substituim x=1x = 1 în polinom: f(1)=13212+211=12+21=0.f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0. Deci, x=1x = 1 este o rădăcină a polinomului. Astfel, x1x - 1 este un factor.

Pas 4: Împărțirea polinomului la x1x - 1

Acum vom împărți polinomul x32x2+2x1x^3 - 2x^2 + 2x - 1 la x1x - 1 folosind metoda împărțirii polinoamelor:

(x32x2+2x1)÷(x1).(x^3 - 2x^2 + 2x - 1) \div (x - 1).

Realizăm împărțirea polinoamelor pas cu pas:

  • Primul termen: x2x^2, deci x2(x1)=x3x2x^2(x - 1) = x^3 - x^2.
  • Scădem: (x32x2)(x3x2)=x2(x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = -x^2.
  • Continuăm cu x2÷x=x-x^2 \div x = -x, deci x(x1)=x2+x-x(x - 1) = -x^2 + x.
  • Scădem: (x2+2x)(x2+x)=x(-x^2 + 2x) - (-x^2 + x) = x.
  • Ultimul pas: x÷x=1x \div x = 1, deci 1(x1)=x11(x - 1) = x - 1.
  • Scădem: (x1)(x1)=0(x - 1) - (x - 1) = 0.

Astfel, rezultatul împărțirii este x2x+1x^2 - x + 1.

Pas 5: Concluzie

Polinomul x32x2+2x1x^3 - 2x^2 + 2x - 1 se poate factoriza ca: x32x2+2x1=(x1)(x2x+1).x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = (x - 1)(x^2 - x + 1).

Aceasta este descompunerea polinomului.

Dorești mai multe detalii despre procesul de factorizare sau ai alte întrebări legate de acest polinom?

Întrebări suplimentare:

  1. Cum se efectuează împărțirea polinoamelor pas cu pas?
  2. Care este teorema rădăcinilor raționale și cum ne ajută la factorizare?
  3. Cum putem rezolva ecuația (x1)(x2x+1)=0(x - 1)(x^2 - x + 1) = 0 pentru a găsi rădăcinile?
  4. Care sunt metodele alternative de factorizare pentru polinoame de grad 3?
  5. Cum ne ajută metoda grupării termenilor în descompunerea polinoamelor?

Sfat:

Când factorizezi un polinom de grad mai mare, încearcă întotdeauna să verifici dacă există rădăcini raționale care simplifică problema.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Polynomial Factorization
Algebra

Formulas

Polynomial division
Rational Root Theorem

Theorems

Rational Root Theorem

Suitable Grade Level

Grades 9-12