Führen Sie folgende Polynomdivisionen aus:
(a) (x
4 − 10x
2 − 8x + 15) : (x
2 − 2x − 5)

Um die Polynomdivision \((x^4 - 10x^2 - 8x + 15) : (x^2 - 2x - 5)\) durchzuführen, folgen wir diesen Schritten:

1. **Aufteilung der Terme:** Wir starten mit dem ersten Term im Dividend, \(x^4\), und teilen ihn durch den höchsten Term im Divisor, \(x^2\):
   \[
   \frac{x^4}{x^2} = x^2
   \]
   Dieser Quotient, \(x^2\), wird als erster Term unseres Ergebnisses notiert.

2. **Multiplizieren und Subtrahieren:** Nun multiplizieren wir \(x^2\) mit dem gesamten Divisor \((x^2 - 2x - 5)\) und subtrahieren das Ergebnis vom Dividend:
   \[
   x^2 \cdot (x^2 - 2x - 5) = x^4 - 2x^3 - 5x^2
   \]
   Subtraktion:
   \[
   (x^4 - 10x^2 - 8x + 15) - (x^4 - 2x^3 - 5x^2) = 2x^3 - 5x^2 - 8x + 15
   \]

3. **Wiederholen des Prozesses:** Nun teilen wir den ersten Term des neuen Polynoms, \(2x^3\), durch den höchsten Term des Divisors, \(x^2\):
   \[
   \frac{2x^3}{x^2} = 2x
   \]
   Wir addieren \(2x\) zu unserem Quotienten und multiplizieren dann \(2x\) mit \((x^2 - 2x - 5)\):
   \[
   2x \cdot (x^2 - 2x - 5) = 2x^3 - 4x^2 - 10x
   \]
   Subtraktion:
   \[
   (2x^3 - 5x^2 - 8x + 15) - (2x^3 - 4x^2 - 10x) = -x^2 + 2x + 15
   \]

4. **Letzte Division:** Nun teilen wir \(-x^2\) durch \(x^2\), was \(-1\) ergibt:
   \[
   \frac{-x^2}{x^2} = -1
   \]
   Wir addieren \(-1\) zum Quotienten und multiplizieren \(-1\) mit \((x^2 - 2x - 5)\):
   \[
   -1 \cdot (x^2 - 2x - 5) = -x^2 + 2x + 5
   \]
   Subtraktion:
   \[
   (-x^2 + 2x + 15) - (-x^2 + 2x + 5) = 10
   \]

5. **Ergebnis aufschreiben:** Der Quotient ist:
   \[
   x^2 + 2x - 1
   \]
   Der Rest ist:
   \[
   10
   \]

**Endergebnis:**
\[
(x^4 - 10x^2 - 8x + 15) : (x^2 - 2x - 5) = x^2 + 2x - 1 + \frac{10}{x^2 - 2x - 5}
\]

Möchten Sie eine detailliertere Erklärung zu den einzelnen Schritten? 

---

Hier sind einige Übungsaufgaben zur Polynomdivision:

1. Führen Sie die Polynomdivision \( (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) : (x + 1) \) durch.
2. Bestimmen Sie den Quotienten und Rest von \( (x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x - 2) \).
3. Berechnen Sie \( (2x^4 + 3x^3 - x - 5) : (x^2 + 1) \).
4. Teilen Sie \( (x^4 - 2x^3 + 5x - 10) : (x^2 - x + 1) \).
5. Führen Sie \( (x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 3) : (x^3 - x + 2) \) durch.

**Tipp:** Überprüfen Sie nach jeder Subtraktion Ihre Zwischenresultate, um Fehler zu vermeiden.

Führen Sie folgende Polynomdivisionen aus: (a) (x^4 − 10x^2 − 8x + 15) : (x^2 − 2x − 5)

Explore a step-by-step solution to the polynomial division problem (x^4 − 10x^2 − 8x + 15) ÷ (x^2 − 2x − 5). This guide covers essential algebraic concepts in polynomial division, making it ideal for students in Grades 10-12.

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