	Jika sisa pembagian polynomial x^203 - x^200 + x^201 - x^202  oleh x^2 + 1 adalah Ax + B. Tentukan nilai A + B !

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menentukan sisa pembagian polinomial \( P(x) = x^{203} - x^{200} + x^{201} - x^{202} \) oleh \( x^2 + 1 \). Menurut Teorema Sisa Polinomial, sisa pembagian polinomial \( P(x) \) oleh polinomial lain \( D(x) \) dengan derajat lebih rendah dapat ditemukan dengan substitusi akar-akar dari \( D(x) \).

Dalam hal ini, \( D(x) = x^2 + 1 \). Akar-akar dari \( x^2 + 1 = 0 \) adalah \( x = i \) dan \( x = -i \), di mana \( i \) adalah bilangan imajiner satuan (\( i^2 = -1 \)).

Sisa pembagian \( P(x) \) oleh \( x^2 + 1 \) adalah polinomial dengan derajat kurang dari 2, yang dapat dituliskan sebagai \( Ax + B \).

Kita perlu mencari nilai \( A \) dan \( B \) dengan menggunakan akar-akar dari \( x^2 + 1 \), yaitu \( i \) dan \( -i \):

\[
P(i) = Ai + B, \quad P(-i) = -Ai + B
\]

Mari kita hitung \( P(i) \) dan \( P(-i) \):

\[
P(i) = i^{203} - i^{200} + i^{201} - i^{202}
\]

\[
P(-i) = (-i)^{203} - (-i)^{200} + (-i)^{201} - (-i)^{202}
\]

Sekarang, kita perlu menghitung masing-masing pangkat \( i \) dan \( -i \):

1. \( i^{200} = (i^4)^{50} = 1^{50} = 1 \)
2. \( i^{201} = i \cdot i^{200} = i \)
3. \( i^{202} = i^2 \cdot i^{200} = (-1) \cdot 1 = -1 \)
4. \( i^{203} = i^3 \cdot i^{200} = (-i) \cdot 1 = -i \)

Dan untuk pangkat \( -i \):

1. \( (-i)^{200} = (i^4)^{50} = 1^{50} = 1 \)
2. \( (-i)^{201} = (-i) \cdot (-i)^{200} = -i \)
3. \( (-i)^{202} = (-i)^2 \cdot (-i)^{200} = (-1) \cdot 1 = -1 \)
4. \( (-i)^{203} = (-i)^3 \cdot (-i)^{200} = i \cdot 1 = i \)

Substitusi nilai-nilai ini ke dalam persamaan \( P(i) \) dan \( P(-i) \):

\[
P(i) = (-i) - 1 + i - (-1) = -i - 1 + i + 1 = 0
\]

\[
P(-i) = i - 1 - i - 1 = i - i - 2 = -2
\]

Kita punya:

\[
P(i) = Ai + B = 0 \implies Ai + B = 0
\]

\[
P(-i) = -Ai + B = -2  \implies Ai - B = -3
\]

Dengan menghilang variabel kita temui:

\( A=-2 &  B =1\) Jumlah \(A+B=-2+1=0

Jika sisa pembagian polynomial x^203 - x^200 + x^201 - x^202  oleh x^2 + 1 adalah Ax + B. Tentukan nilai A + B !

Learn how to find the remainder when dividing the polynomial x^203 - x^200 + x^201 - x^202 by x^2 + 1. This problem involves key algebraic concepts, such as polynomial division and complex numbers. Follow a detailed step-by-step solution suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation