Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan konsep pembagian polinomial dan residu (sisa). Berikut langkah-langkahnya:

Informasi yang diberikan:

1. $f(x)$ dibagi dengan $x - 2$, sisanya adalah $18$.
2. $f(x)$ dibagi dengan $x^2 + x - 2$, sisanya adalah $3x - 5$.
3. Pertanyaannya: Berapakah sisanya jika $f(x)$ dibagi dengan $x^2 - 3x + 2$?

Analisis:

• $x^2 + x - 2$ dapat difaktorkan menjadi $(x - 1)(x + 2)$.
• Demikian pula $x^2 - 3x + 2$ dapat difaktorkan menjadi $(x - 1)(x - 2)$.

Langkah-langkah:

1. Dari syarat pembagian $f(x) \div (x - 2)$, sisanya adalah 18. Ini berarti: $f(2) = 18.$

2. Dari syarat pembagian $f(x) \div (x^2 + x - 2)$, sisanya adalah $3x - 5$. Karena $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$, nilai residu $3x - 5$ harus memenuhi nilai di $x = 1$ dan $x = -2$. Dengan kata lain: $f(1) = 3(1) - 5 = -2,$ $f(-2) = 3(-2) - 5 = -11.$

3. Sekarang, kita ingin mencari sisa $f(x) \div (x^2 - 3x + 2)$, di mana $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$.

Sisa pembagian ini berbentuk linear, yaitu $ax + b$. Jadi: $f(x) = (x^2 - 3x + 2)q(x) + ax + b.$

4. Substitusi nilai $x = 2$ dan $x = 1$ ke dalam persamaan $f(x)$:

   • Untuk $x = 2$: $f(2) = 18$, sehingga: 18 = a(2) + b \implies 2a + b = 18. \tag{1}

   • Untuk $x = 1$: $f(1) = -2$, sehingga: -2 = a(1) + b \implies a + b = -2. \tag{2}

5. Dari persamaan (1) dan (2), selesaikan sistem persamaan linear: $2a + b = 18,$ $a + b = -2.$

   Kurangkan kedua persamaan: $(2a + b) - (a + b) = 18 - (-2),$ $a = 20.$

   Substitusi $a = 20$ ke persamaan $a + b = -2$: $20 + b = -2 \implies b = -22.$

Hasil Akhir:

Sisanya adalah: $f(x) \div (x^2 - 3x + 2) = 20x - 22.$

Jawaban yang tepat adalah C. $2(10x - 11)$.

Ada pertanyaan lain? Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi:

1. Bagaimana langkah lengkap melakukan pembagian polinomial secara manual?
2. Apa perbedaan antara pembagian polinomial dengan faktor dan tanpa faktor?
3. Bagaimana cara memverifikasi jawaban residu secara grafis?
4. Bagaimana sifat sisa jika pembagi memiliki derajat lebih tinggi?
5. Bagaimana menggunakan metode Horner dalam pembagian polinomial?

Tip: Selalu faktorkan pembagi jika memungkinkan untuk menyederhanakan analisis!