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Per risolvere il problema, dobbiamo calcolare il resto della divisione tra il polinomio \( p(x) = 1 + 2x - x^2 \) e il polinomio \( q(x) = x + 3 \).

Questa è una divisione di polinomi, e possiamo risolverla usando il **metodo della divisione polinomiale**.

### Passo 1: Organizzare la divisione
Scriviamo la divisione:

\[
p(x) = -x^2 + 2x + 1
\]
\[
q(x) = x + 3
\]

### Passo 2: Eseguire la divisione polinomiale

1. **Dividiamo il termine più alto di \( p(x) \), cioè \( -x^2 \), per il termine più alto di \( q(x) \), cioè \( x \):**
   \[
   \frac{-x^2}{x} = -x
   \]

2. **Moltiplichiamo \( -x \) per \( q(x) = x + 3 \):**
   \[
   -x(x + 3) = -x^2 - 3x
   \]

3. **Sottraiamo \( -x^2 - 3x \) da \( p(x) \):**
   \[
   (-x^2 + 2x + 1) - (-x^2 - 3x) = 5x + 1
   \]

4. **Dividiamo il nuovo termine più alto, \( 5x \), per \( x \):**
   \[
   \frac{5x}{x} = 5
   \]

5. **Moltiplichiamo \( 5 \) per \( x + 3 \):**
   \[
   5(x + 3) = 5x + 15
   \]

6. **Sottraiamo \( 5x + 15 \) da \( 5x + 1 \):**
   \[
   (5x + 1) - (5x + 15) = -14
   \]

### Risultato
Il quoziente è \( -x + 5 \) e il **resto** è \( -14 \).

### Risposta finale:
Il resto della divisione è \( \mathbf{-14} \).

---

Hai bisogno di ulteriori dettagli o chiarimenti?

Ecco 5 domande correlate per approfondire:

1. Come si esegue la divisione tra polinomi con resti diversi da zero?
2. Cosa rappresenta il quoziente e il resto in una divisione polinomiale?
3. Come cambia il risultato della divisione se il polinomio divisore ha grado superiore?
4. Come possiamo verificare il risultato di una divisione tra polinomi?
5. Quali sono altri metodi alternativi per dividere polinomi?

**Suggerimento**: Se il grado del dividendo è inferiore a quello del divisore, il risultato sarà direttamente il resto senza quoziente.

Calcolare il resto della divisione tra il polinomio p(x) = 1 + 2x - x^2 e il polinomio q(x) = x + 3.

Learn how to calculate the remainder of the polynomial division between p(x) = 1 + 2x - x^2 and q(x) = x + 3 using the polynomial long division method. This algebra problem is perfect for students in Grades 10-12, covering key concepts like polynomial division and the remainder theorem.

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