Quantos pontos comuns a pelo menos duas rectas pode ter um conjunto de três rectas
distintas do plano? E um conjunto de quatro rectas?

Para resolver esta questão, vamos analisar o número de **pontos comuns** a pelo menos duas retas em dois casos: para um conjunto de três e quatro retas distintas.

### Caso 1: Três retas distintas no plano

Com três retas distintas, temos três possibilidades diferentes para a configuração das retas:

1. **As três retas são paralelas**: Neste caso, não há ponto comum entre as retas, pois retas paralelas nunca se interceptam. Portanto, o número de pontos comuns seria **zero**.
  
2. **Duas retas se interceptam em um ponto, e a terceira é paralela a ambas**: Neste caso, temos um único ponto de interseção entre as duas retas que se cruzam, e a terceira não tem nenhum ponto comum com as outras duas. Portanto, o número de pontos comuns é **um**.

3. **Cada par de retas se intercepta em um ponto distinto**: Se as três retas não forem paralelas, é possível que cada par de retas tenha um ponto de interseção distinto. Como existem três pares de retas em um conjunto de três retas (R1 com R2, R1 com R3, R2 com R3), o número de pontos comuns neste caso seria **três**.

Portanto, no caso de três retas distintas no plano, o número de pontos comuns a pelo menos duas retas pode variar entre **0** e **3**.

### Caso 2: Quatro retas distintas no plano

Com quatro retas distintas, também podemos analisar algumas configurações possíveis:

1. **As quatro retas são paralelas**: Neste caso, as quatro retas nunca se encontram, logo o número de pontos comuns seria **zero**.

2. **Duas ou mais retas se interceptam**: Se apenas algumas das retas se cruzam, o número de pontos comuns dependerá da configuração exata. Por exemplo:
   - Se duas retas se cruzam e as outras duas são paralelas, teremos **um** ponto comum.
   - Se três retas se cruzam em pontos diferentes e a quarta é paralela, pode haver até **três** pontos de interseção.

3. **Cada par de retas se intercepta em um ponto distinto**: Se as quatro retas não forem paralelas e cada par de retas se interceptar em um ponto distinto, o número de pontos comuns será igual ao número de combinações de pares de retas. Para quatro retas, o número de pares distintos é \( \binom{4}{2} = 6 \), ou seja, teremos **seis** pontos de interseção.

Portanto, no caso de quatro retas distintas no plano, o número de pontos comuns a pelo menos duas retas pode variar entre **0** e **6**.

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Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, posso ajudar! Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir o conhecimento:

1. O que acontece se tivermos cinco retas distintas no plano?
2. Como se calcula o número de pontos de interseção para \( n \) retas no plano?
3. Qual é a fórmula geral para calcular o número de pontos de interseção para \( n \) retas não paralelas?
4. O que muda se as retas forem no espaço tridimensional em vez de no plano?
5. Como se define geometricamente o conceito de retas concorrentes?

**Dica**: Lembre-se de que o número de pontos de interseção de \( n \) retas é dado pela combinação de \( n \) retas tomadas duas a duas, ou seja, \( \binom{n}{2} \).

Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de três retas distintas do plano? E um conjunto de quatro retas?

Explore how to calculate the number of common points of intersection for sets of three and four distinct lines. Understand different geometric configurations, including parallel lines and intersecting lines, with combinatorial formulas like C(n, 2). Suitable for students in Grades 9-12.

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