Per dimostrare che tutti i punti periodici di periodo $n$ della mappa logistica $f(x) = 4x(1 - x)$ sono repulsivi, è necessario analizzare il comportamento della derivata della funzione e dimostrare che il valore assoluto della derivata della mappa in tali punti è maggiore di 1.

Passi della dimostrazione:

1. Definizione dei punti periodici di periodo n: Un punto $x^*$ è periodico di periodo $n$ se soddisfa la condizione: $f^n(x^*) = x^*$ dove $f^n(x)$ indica la funzione composta $f$ applicata $n$ volte. In altre parole, dopo $n$ applicazioni di $f$, il punto $x^*$ ritorna su se stesso.

2. Studio della stabilità: Per determinare la natura repulsiva o attrattiva di un punto periodico, si considera il comportamento della funzione nel suo intorno. Questo si fa esaminando il valore assoluto della derivata della funzione composta nel punto periodico: $|(f^n)'(x^*)|$ Se $|(f^n)'(x^*)| > 1$, il punto periodico è repulsivo (i punti vicini si allontanano); se invece $|(f^n)'(x^*)| < 1$, il punto è attrattivo.

3. Derivata della mappa logistica: La derivata della mappa logistica è: $f'(x) = 4(1 - 2x)$ Ora, per un punto periodico di periodo $n$, dobbiamo calcolare la derivata della funzione composta $f^n(x)$. Questo si fa applicando la regola della catena: $(f^n)'(x^*) = f'(f^{n-1}(x^*)) \cdot f'(f^{n-2}(x^*)) \cdot \ldots \cdot f'(x^*)$ Dove ogni termine è la derivata della funzione applicata in un punto della sequenza iterata.

4. Repulsività dei punti periodici: In generale, per la mappa logistica con parametro $r = 4$, il valore assoluto della derivata $|f'(x)|$ è sempre maggiore di 1 per qualsiasi $x$ appartenente all'intervallo $(0, 1)$, eccetto nei punti $x = 0.5$ o ai bordi $x = 0$ e $x = 1$, che non sono punti periodici di interesse qui. Pertanto, per un punto periodico $x^*$ di periodo $n$, avremo che: $|(f^n)'(x^*)| = |f'(f^{n-1}(x^*)) \cdot \ldots \cdot f'(x^*)| > 1$ Questo implica che tutti i punti periodici di periodo $n$ della mappa logistica sono repulsivi, poiché il valore assoluto della derivata della funzione composta in questi punti è sempre maggiore di 1.

Conclusione:

Tutti i punti periodici di periodo $n$ della mappa logistica con parametro $r = 4$ sono repulsivi, poiché il valore assoluto della derivata della funzione composta in tali punti è sempre maggiore di 1, il che significa che i punti vicini si allontanano, rendendo il comportamento attorno al punto periodico instabile.

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Ecco 5 domande correlate:

1. Come si determinano esplicitamente i punti periodici di periodo 2 nella mappa logistica?
2. Cosa succede ai punti fissi della mappa logistica $f(x) = 4x(1 - x)$?
3. Cosa rappresenta graficamente la condizione $|f'(x^*)| > 1$ nella mappa logistica?
4. Come cambia il comportamento della mappa logistica per $r \neq 4$?
5. Come si collega il concetto di biforcazione alla mappa logistica?

Tip: Nelle mappe dinamiche, lo studio della derivata ai punti fissi o periodici è fondamentale per capire la stabilità dei punti stessi.