Дано дифференциальное уравнение:
$\frac{d^2 y}{dx^2} - 1 = 0$ с начальными условиями:
$y(0) = 2, \quad y'(0) = 0.$

1. Найдём общее решение

Рассмотрим уравнение: $\frac{d^2 y}{dx^2} = 1.$ Интегрируем его один раз: $\frac{dy}{dx} = x + C_1.$ Интегрируем ещё раз: $y = \frac{x^2}{2} + C_1 x + C_2.$ Таким образом, общее решение: $y(x) = \frac{x^2}{2} + C_1 x + C_2.$

2. Найдём частное решение, используя начальные условия

Условие $y(0) = 2$

Подставляем $x = 0$: $2 = \frac{0^2}{2} + C_1 \cdot 0 + C_2.$ Получаем $C_2 = 2$.

Условие $y'(0) = 0$

Находим производную: $y'(x) = x + C_1.$ Подставляем $x = 0$: $0 = 0 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0.$

3. Частное решение

Подставляем найденные значения $C_1$ и $C_2$ в общее решение: $y(x) = \frac{x^2}{2} + 2.$

Ответ:
$y(x) = \frac{x^2}{2} + 2.$

---

Хочешь разбор с графиком или проверку?

Вот 5 похожих задач для практики:

1. Решить $\frac{d^2 y}{dx^2} + 4 = 0$ при $y(0) = 1, y'(0) = -2$.
2. Найти общее решение $\frac{d^2 y}{dx^2} = 2x$.
3. Найти частное решение $\frac{d^2 y}{dx^2} - 3y = 0$ при $y(0) = 2, y'(0) = 1$.
4. Решить уравнение $y'' + y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 1, y'(0) = 0$.
5. Найти решение $y'' - 2y' + y = 0$ при $y(1) = 0, y'(1) = 3$.

💡 Совет: Всегда проверяй частное решение, подставляя его в исходное уравнение!