u=x^2yz, x=r/s,y=re^s,z=re^-s encontre a derivada parcial

Vamos calcular a derivada parcial de \( u = x^2yz \), onde \( x = \frac{r}{s} \), \( y = re^s \) e \( z = re^{-s} \).

### Passo 1: Substituir as expressões de \( x \), \( y \) e \( z \) na função \( u \)
Substituímos \( x \), \( y \) e \( z \) em \( u \):

\[
u = \left( \frac{r}{s} \right)^2 \cdot (re^s) \cdot (re^{-s})
\]

Simplificando os termos:

\[
u = \frac{r^2}{s^2} \cdot r \cdot e^s \cdot r \cdot e^{-s}
\]

Agora, note que \( e^s \cdot e^{-s} = 1 \), então a expressão de \( u \) fica:

\[
u = \frac{r^4}{s^2}
\]

### Passo 2: Derivadas parciais
Agora vamos calcular as derivadas parciais de \( u \) em relação a \( r \) e \( s \).

#### Derivada parcial de \( u \) em relação a \( r \)
\[
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{r^4}{s^2} \right)
\]

A derivada de \( r^4 \) em relação a \( r \) é \( 4r^3 \), então temos:

\[
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{4r^3}{s^2}
\]

#### Derivada parcial de \( u \) em relação a \( s \)
\[
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} \left( \frac{r^4}{s^2} \right)
\]

A derivada de \( \frac{1}{s^2} \) em relação a \( s \) é \( -\frac{2}{s^3} \), então temos:

\[
\frac{\partial u}{\partial s} = r^4 \cdot \left( -\frac{2}{s^3} \right) = -\frac{2r^4}{s^3}
\]

### Resumo:
- \( \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{4r^3}{s^2} \)
- \( \frac{\partial u}{\partial s} = -\frac{2r^4}{s^3} \)

Essas são as derivadas parciais de \( u \) em relação a \( r \) e \( s \).

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta? 

Aqui estão 5 perguntas relativas ao que vimos:

1. Como posso interpretar o comportamento de \( u \) em função de \( r \) e \( s \)?
2. Qual seria a segunda derivada parcial de \( u \) em relação a \( r \)?
3. Como a função \( u \) muda quando \( s \) se aproxima de zero?
4. O que significaria \( \frac{\partial^2 u}{\partial r \partial s} \) neste contexto?
5. Se mudássemos a forma de \( x \), \( y \) e \( z \), como isso alteraria as derivadas?

**Dica:** Ao trabalhar com derivadas parciais, manter a cadeia de variáveis organizada ajuda muito a evitar erros em cálculos longos.

u = x^2yz, x = r/s, y = re^s, z = re^-s encontre a derivada parcial

Explore how to find the partial derivatives of the multivariable function u = x^2yz, with substitutions x = r/s, y = re^s, and z = re^-s. Detailed steps include substitution, simplification, and the calculation of ∂u/∂r and ∂u/∂s. Suitable for college-level calculus students.

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