Suponga que impactó un huracán e inundó la planta dañando una máquina, adicionalmente por afectaciones a la cadena de suministro el costo por hora de las máquinas es de 4 dólares.

2.4    ¿Cual es la cantidad óptima de trabajadores a contratar?

2.5    ¿Cuál es la producción óptima?

2.6    ¿Cuál es el beneficio máximo?

Con el nuevo escenario, se ha dañado una máquina, reduciendo el número de máquinas a \( x_2 = 26 \), y el costo por hora de las máquinas ha aumentado a \( w_2 = 4 \). Vamos a resolver el problema nuevamente bajo estas nuevas condiciones.

### 1. **Cantidad óptima de trabajadores a contratar (2.4)**

La función de beneficio ahora es:

\[
\text{Beneficio} = p \cdot f(x_1, x_2) - (w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2)
\]

Sustituyendo los valores dados:

\[
\text{Beneficio} = 5 \cdot (x_1^{1/3} \cdot 26^{1/3}) - (1 \cdot x_1 + 4 \cdot 26)
\]

Calculamos \( 26^{1/3} \):

\[
26^{1/3} \approx 2.96
\]

Entonces la función de beneficio se convierte en:

\[
\text{Beneficio} = 14.8 \cdot x_1^{1/3} - x_1 - 104
\]

Derivamos la función de beneficio con respecto a \( x_1 \) para encontrar la cantidad óptima de trabajadores:

\[
\frac{d(\text{Beneficio})}{dx_1} = 14.8 \cdot \frac{1}{3} \cdot x_1^{-2/3} - 1 = 0
\]
\[
4.93 \cdot x_1^{-2/3} = 1
\]
\[
x_1^{-2/3} = \frac{1}{4.93}
\]
\[
x_1^{2/3} \approx 4.93
\]
\[
x_1 \approx 4.93^{3/2} \approx \sqrt{119.25} \approx 10.92
\]

La cantidad óptima de trabajadores a contratar es aproximadamente \( x_1 \approx 10.92 \).

### 2. **Producción óptima (2.5)**

Sustituimos \( x_1 \approx 10.92 \) y \( x_2 = 26 \) en la función de producción:

\[
f(x_1, x_2) = 10.92^{1/3} \cdot 26^{1/3} \approx 2.22 \cdot 2.96 \approx 6.57
\]

La producción óptima es aproximadamente 6.57 unidades.

### 3. **Beneficio máximo (2.6)**

Sustituyendo los valores óptimos en la función de beneficio:

\[
\text{Beneficio} = 14.8 \cdot 10.92^{1/3} - 10.92 - 104
\]
\[
\text{Beneficio} \approx 14.8 \cdot 2.22 - 10.92 - 104 \approx 32.86 - 10.92 - 104 \approx -82.06
\]

El beneficio máximo bajo estas nuevas condiciones es aproximadamente \( -82.06 \), lo que indica nuevamente una pérdida bajo estas condiciones.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo podría afectar una reducción adicional en la cantidad de máquinas al beneficio?
2. ¿Qué opciones existen para minimizar pérdidas bajo estas condiciones?
3. ¿Cómo influye un aumento en el precio del producto en la producción y el beneficio?
4. ¿Qué impacto tendría un cambio en la función de producción en los resultados?
5. ¿Cómo afectaría un cambio en la función de costos a la cantidad óptima de trabajadores?

**Tip:** Es fundamental evaluar el impacto de los desastres naturales en la producción y considerar seguros o estrategias de mitigación de riesgos para proteger la viabilidad financiera del negocio.

Explore the optimal number of workers to hire, optimal production level, and maximum profit calculation after a hurricane impact scenario. Detailed mathematical analysis includes derivative calculations and optimization techniques.

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