Math Problem Statement
Soal 1: Dua pemain, A dan B, bermain sebuah permainan zero-sum dengan matriks payoff sebagai berikut (nilai menunjukkan keuntungan untuk pemain A):
Payoff Matrix: [ 3 -1 2 ] [ 4 0 -2 ] [-1 2 1 ]
a) Tentukan strategi murni terbaik untuk pemain A dan B. b) Jika pemain A menggunakan strategi campuran dengan probabilitas P_A = [0.4, 0.4, 0.2], tentukan expected payoff pemain A.
Solution
Untuk soal ini, kita akan memecahnya menjadi dua bagian: bagian a) dan bagian b).
a) Menentukan strategi murni terbaik untuk pemain A dan B.
Matriks Payoff:
3 & -1 & 2 \\ 4 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ Setiap baris mewakili pilihan pemain A (A1, A2, A3), dan setiap kolom mewakili pilihan pemain B (B1, B2, B3). Nilai-nilai dalam matriks adalah keuntungan untuk pemain A jika pemain A memilih baris dan pemain B memilih kolom yang sesuai. **Langkah pertama: Tentukan strategi terbaik pemain A** Pemain A ingin memaksimalkan keuntungan mereka, jadi mereka akan memilih baris yang memberikan hasil terbaik berdasarkan strategi pemain B. Untuk itu, kita akan mencari nilai **maksimum** untuk setiap baris. 1. **Baris 1 (A1):** Keuntungan untuk A adalah 3, -1, 2. Maka, nilai maksimum adalah 3 (A1, B1). 2. **Baris 2 (A2):** Keuntungan untuk A adalah 4, 0, -2. Maka, nilai maksimum adalah 4 (A2, B1). 3. **Baris 3 (A3):** Keuntungan untuk A adalah -1, 2, 1. Maka, nilai maksimum adalah 2 (A3, B2). Pemain A sebaiknya memilih baris dengan nilai maksimum terbesar. Dari analisis di atas, kita lihat bahwa **baris 2 (A2)** memberikan nilai maksimum tertinggi, yaitu 4. Jadi, **strategi terbaik untuk pemain A adalah A2**. **Langkah kedua: Tentukan strategi terbaik pemain B** Pemain B ingin meminimalkan keuntungan pemain A, jadi mereka akan memilih kolom yang memberikan hasil terburuk bagi A. 1. **Kolom 1 (B1):** Keuntungan untuk A adalah 3, 4, -1. Maka, nilai minimum adalah -1 (A3, B1). 2. **Kolom 2 (B2):** Keuntungan untuk A adalah -1, 0, 2. Maka, nilai minimum adalah -1 (A1, B2). 3. **Kolom 3 (B3):** Keuntungan untuk A adalah 2, -2, 1. Maka, nilai minimum adalah -2 (A2, B3). Pemain B akan memilih kolom yang meminimalkan keuntungan pemain A. Dalam hal ini, **kolom 3 (B3)** memberikan nilai minimum terburuk bagi A, yaitu -2. Jadi, **strategi terbaik untuk pemain B adalah B3**. ### Hasil bagian a): - **Strategi terbaik untuk pemain A:** A2 (pilih baris 2). - **Strategi terbaik untuk pemain B:** B3 (pilih kolom 3). --- ### b) Menentukan **expected payoff** pemain A jika menggunakan strategi campuran dengan probabilitas $$P_A = [0.4, 0.4, 0.2]$$. Dalam hal ini, pemain A menggunakan strategi campuran, yang berarti mereka memilih A1, A2, atau A3 dengan probabilitas yang diberikan dalam vektor $$P_A = [0.4, 0.4, 0.2]$$. Untuk menghitung expected payoff (nilai harapan) untuk pemain A, kita menggunakan rumus: $$\text{Expected Payoff} = \sum_{i=1}^{3} P_A[i] \times \text{Payoff}(A_i, B_j)$$ di mana $$P_A[i]$$ adalah probabilitas pemilihan strategi A_i, dan $$\text{Payoff}(A_i, B_j)$$ adalah nilai dalam matriks payoff yang sesuai. Dengan strategi B3 (kolom 3), kita ambil nilai-nilai dari kolom 3 dalam matriks payoff: - **Payoff untuk A1, B3:** 2 - **Payoff untuk A2, B3:** -2 - **Payoff untuk A3, B3:** 1 Maka, expected payoff untuk A: $$\text{Expected Payoff} = (0.4 \times 2) + (0.4 \times -2) + (0.2 \times 1)$$ $$\text{Expected Payoff} = 0.8 - 0.8 + 0.2 = 0.2$$ ### Hasil bagian b): **Expected payoff pemain A** adalah 0.2. --- Apakah ada yang perlu penjelasan lebih lanjut? Atau ada yang ingin ditanyakan? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat membantu lebih dalam: 1. Bagaimana cara menghitung expected payoff jika pemain B juga menggunakan strategi campuran? 2. Apa yang dimaksud dengan permainan zero-sum? 3. Bagaimana cara menganalisis keseimbangan Nash dalam permainan ini? 4. Apa perbedaan antara strategi murni dan strategi campuran dalam teori permainan? 5. Bagaimana strategi optimal dapat berubah jika nilai-nilai dalam matriks payoff berbeda? **Tip:** Dalam permainan zero-sum, strategi optimal bagi kedua pemain sering kali melibatkan pemilihan antara strategi murni dan campuran untuk memaksimalkan (atau meminimalkan) payoff mereka.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Game Theory
Zero-sum Games
Mixed Strategy
Expected Payoff
Payoff Matrix
Formulas
Expected Payoff = Σ (P_A[i] × Payoff(A_i, B_j))
Theorems
Zero-Sum Game Theorem
Mixed Strategy Nash Equilibrium
Suitable Grade Level
College/Undergraduate (Game Theory)