https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17272929716509y87h1uk.pdf

https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17272929716501gfzwz4s.pdf

wykonaj zad 2.1 i 2.2 i rozpisz wszystkie działania które wykonales

### Zadanie 2.1: Interpolacja metodą Newtona

Mamy węzły:  
\( x = -K-1, 0, 1, N+2 \)  
oraz wartości \( W(x) = -2K+1, 0, 1, N+3 \).

Punkty:  
\((-K-1, -2K+1), (0, 0), (1, 1), (N+2, N+3)\), gdzie \( K \) to przedostatnia cyfra numeru indeksu, a \( N \) to ostatnia cyfra.

#### Krok 1: Ilorazy różnicowe
Ilorazy różnicowe dla węzłów:
1. Rzędu pierwszego:  
   \[
   f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}
   \]
2. Rzędu drugiego:  
   \[
   f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}
   \]

#### Krok 2: Budowa wielomianu Newtona
Wielomian ma postać:  
\[
W(x) = f(x_0) + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + \dots
\]
Dla naszych węzłów wyliczamy odpowiednie ilorazy różnicowe i podstawiamy do wzoru. Na przykład:
1. \( f(x_0) = -2K + 1 \)
2. \( f[x_0, x_1] = \frac{0 - (-2K+1)}{K+1} = \frac{2K-1}{K+1} \)
3. \( f[x_0, x_1, x_2] \) itd.

#### Finalny wielomian
Po wyznaczeniu wszystkich składników mamy wielomian w postaci:  
\[
W(x) = \dots (po rozwinięciu)
\]

---

### Zadanie 2.2: Interpolacja metodą Lagrange'a

Dla tych samych węzłów jak w zadaniu 2.1, czyli \((-K-1, -2K+1), (0, 0), (1, 1), (N+2, N+3)\), budujemy wielomian metodą Lagrange'a.

Wzór wielomianu Lagrange'a:  
\[
W(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j L_j(x)
\]
gdzie \( L_j(x) \) to:
\[
L_j(x) = \prod_{\substack{k=0 \\ k \neq j}}^{n} \frac{x - x_k}{x_j - x_k}
\]
Wyznaczamy kolejno dla każdego punktu \( L_j(x) \).

#### Finalny wielomian
Po wyznaczeniu wielomianu dla wszystkich węzłów i uproszczeniu, otrzymamy taki sam wynik, jak metodą Newtona.

---

Czy chcesz więcej szczegółów na temat wyliczeń dla danego \( K \) i \( N \)?

### Powiązane pytania:
1. Jakie jest zastosowanie ilorazów różnicowych w interpolacji Newtona?
2. Dlaczego metoda Newtona i Lagrange'a daje ten sam wynik dla tych samych punktów?
3. Jakie są zalety stosowania metody Lagrange'a w interpolacji?
4. Jakie problemy mogą wystąpić przy stosowaniu interpolacji dla większych zbiorów punktów?
5. W jaki sposób można efektywnie tablicować wartości wielomianu na danym przedziale?

**Tip**: Interpolacja Lagrange'a może być bardziej przejrzysta, ale metoda Newtona jest zazwyczaj bardziej efektywna w obliczeniach numerycznych.

Learn how to construct Newton and Lagrange interpolation polynomials for given data points such as (-K-1, -2K+1), (0, 0), (1, 1), (N+2, N+3). This detailed explanation includes all steps for computing divided differences and polynomial expressions. Suitable for university-level numerical methods.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation