La funció $f(x) = \ln(x)$ és la funció logarítmica natural. A continuació, analitzem les seves característiques principals:

1. Domini: La funció està definida per a $x > 0$, és a dir, $D_f = (0, +\infty)$. No existeix per a $x \leq 0$, ja que el logaritme d'un nombre no positiu no està definit en els nombres reals.

2. Imatge o rang: El conjunt de valors possibles per a $f(x) = \ln(x)$ és $\mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$. Això significa que la funció pot assumir qualsevol valor real.

3. Intersecció amb els eixos:

   • Intersecció amb l'eix $x$: No té intersecció amb l'eix $x$, ja que $\ln(x) = 0$ només per a $x = 1$.
   • Intersecció amb l'eix $y$: La funció no té intersecció amb l'eix $y$ perquè no està definida per $x = 0$.

4. Asímptota vertical: La funció té una asímptota vertical en $x = 0$. Quan $x$ s'acosta a 0 per la dreta, $\ln(x) \to -\infty$.

5. Comportament i creixement:

   • La funció $\ln(x)$ és creixent en tot el seu domini, és a dir, quan $x$ augmenta, $f(x)$ també augmenta.
   • El creixement de $\ln(x)$ és lent: a mesura que $x$ es fa molt gran, $\ln(x)$ augmenta indefinidament, però a un ritme molt més lent que les funcions polinòmiques, com $x$ o $x^2$.

6. Derivada: La derivada de $f(x) = \ln(x)$ és $f'(x) = \frac{1}{x}$, que és positiva per a $x > 0$, confirmant que la funció és creixent en el seu domini.

Vols més detalls o tens alguna pregunta sobre aquesta funció?

Preguntes relacionades:

1. Quina seria la derivada segona de $f(x) = \ln(x)$ i què ens indica sobre la concavitat?
2. Com afecta una transformació afí com $f(x) = a \ln(bx)$ a la gràfica de la funció logarítmica?
3. Quina és la inversa de $f(x) = \ln(x)$ i quines són les seves propietats?
4. Com es compara el creixement de $f(x) = \ln(x)$ amb altres funcions com $e^x$ o $x^n$?
5. Com es comporta $f(x) = \ln(x)$ en el límit quan $x \to +\infty$?

Consell:

Quan treballes amb funcions logarítmiques, és útil recordar que el logaritme natural transforma la multiplicació en suma i la potenciació en multiplicació, fet que pot simplificar moltes expressions.