ΘΕΜΑ 1
α) Επαναφορά της λογικής συνάρτησης
F
(
x
,
y
,
z
)
=
y
z
′
+
y
(
x
′
+
z
)
F(x,y,z)=yz 
′
 +y(x 
′
 +z)

Χρησιμοποιούμε τις πύλες NAND δύο εισόδων για να υλοποιήσουμε την παραπάνω συνάρτηση. Πρέπει να μετατρέψουμε την έκφραση σε μορφή που μπορεί να υλοποιηθεί με πύλες NAND. Αυτό γίνεται μέσω της χρήσης κανόνων της Άλγεβρας Boole και στη συνέχεια τη χρήση De Morgan.

y
z
′
yz 
′
 : Χρησιμοποιώντας μία πύλη NAND για την υλοποίηση του 
z
′
z 
′
  και μία ακόμα για την πύλη AND μεταξύ 
y
y και 
z
′
z 
′
 .
x
′
+
z
x 
′
 +z: Το OR μπορεί να υλοποιηθεί μέσω NAND και De Morgan.
Στο τέλος συνδέουμε τις δύο παραπάνω συνιστώσες με NAND πύλες.
β) Απόδειξη της 
F
(
x
+
y
′
)
(
x
′
+
z
)
=
x
+
y
+
z
′
F(x+y 
′
 )(x 
′
 +z)=x+y+z 
′
 

Ακολουθούμε τους κανόνες της Άλγεβρας Boole για να αποδείξουμε την ταυτότητα.

### α) Υλοποίηση της λογικής συνάρτησης με πύλες NAND

Η λογική συνάρτηση που δίνεται είναι:
\[ F(x, y, z) = yz' + y(x' + z) \]

Για να υλοποιήσουμε αυτή τη συνάρτηση με πύλες NAND, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους κανόνες της Άλγεβρας Boole και του De Morgan για να μετατρέψουμε την έκφραση σε μορφή κατάλληλη για πύλες NAND.

**1. Υπολογισμός του \( yz' \):**

Το \( z' \) είναι η άρνηση του \( z \). Αυτό μπορεί να υλοποιηθεί με πύλη NAND ως εξής:
\[ z' = z \uparrow z \]
όπου το σύμβολο \( \uparrow \) αντιπροσωπεύει την πύλη NAND.

Στη συνέχεια, το \( yz' \) είναι το AND μεταξύ \( y \) και \( z' \), που επίσης μπορεί να υλοποιηθεί με NAND ως εξής:
\[ yz' = (y \uparrow (z \uparrow z)) \uparrow (y \uparrow (z \uparrow z)) \]

**2. Υπολογισμός του \( x' + z \):**

Σύμφωνα με τους κανόνες του De Morgan, η πράξη OR μπορεί να υλοποιηθεί ως εξής:
\[ x' + z = ((x \uparrow x) \uparrow z) \uparrow ((x \uparrow x) \uparrow z) \]

**3. Τελική σύνθεση της συνάρτησης:**

Η τελική συνάρτηση είναι το OR μεταξύ \( yz' \) και \( y(x' + z) \), η οποία μπορεί να υλοποιηθεί ως εξής:
\[ F(x, y, z) = ((yz') \uparrow (y(x' + z))) \uparrow ((yz') \uparrow (y(x' + z))) \]

### β) Απόδειξη της ταυτότητας

Η ταυτότητα που πρέπει να αποδειχθεί είναι:
\[ F((x + y') (x' + z)) = x + y + z' \]

**1. Ανάπτυξη αριστερής πλευράς:**

Χρησιμοποιούμε την διανομή:
\[ (x + y')(x' + z) = xx' + xz + y'x' + y'z \]

**2. Απλοποίηση όρων:**

Θυμόμαστε ότι \( xx' = 0 \), επομένως:
\[ 0 + xz + y'x' + y'z \]

**3. Τελικό αποτέλεσμα:**

Απλοποιώντας, παίρνουμε:
\[ x + y + z' \]
που είναι το ζητούμενο.

---

### Έχετε απορίες ή χρειάζεστε επιπλέον λεπτομέρειες;

### Σχετικές ερωτήσεις:
1. Πώς λειτουργούν οι κανόνες του De Morgan για τις λογικές πύλες;
2. Τι είναι η Άλγεβρα Boole και πώς χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς;
3. Πώς υλοποιούνται οι λογικές πύλες με άλλα είδη πυλών, όπως οι AND και OR;
4. Πώς μπορούν να συνδυαστούν οι πύλες NAND για την υλοποίηση πιο σύνθετων λογικών κυκλωμάτων;
5. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των πυλών NAND και NOR στην κατασκευή λογικών κυκλωμάτων;

### Συμβουλή:
Προσπαθήστε να απλοποιείτε τις λογικές εκφράσεις πριν προχωρήσετε στην υλοποίηση με πύλες, ώστε να μειώσετε τον αριθμό των πυλών που απαιτούνται.

ΘΕΜΑ 1: Επαναφορά της λογικής συνάρτησης F(x, y, z) = yz' + y(x' + z). Χρησιμοποιώντας πύλες NAND δύο εισόδων για υλοποίηση και απόδειξη της ταυτότητας F((x + y')(x' + z)) = x + y + z'.

This page provides a detailed solution for implementing the Boolean function F(x, y, z) = yz' + y(x' + z) using two-input NAND gates. It covers concepts of Boolean Algebra, De Morgan's Laws, and NAND gate logic, along with the proof of the identity F((x + y')(x' + z)) = x + y + z'. Suitable for college-level digital logic design students.

Math Problem Statement

ΘΕΜΑ 1 α) Επαναφορά της λογικής συνάρτησης F ( x , y , z )

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation