α) Υλοποίηση της λογικής συνάρτησης με πύλες NAND

Η λογική συνάρτηση που δίνεται είναι: $F(x, y, z) = yz' + y(x' + z)$

Για να υλοποιήσουμε αυτή τη συνάρτηση με πύλες NAND, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους κανόνες της Άλγεβρας Boole και του De Morgan για να μετατρέψουμε την έκφραση σε μορφή κατάλληλη για πύλες NAND.

1. Υπολογισμός του $yz'$:

Το $z'$ είναι η άρνηση του $z$. Αυτό μπορεί να υλοποιηθεί με πύλη NAND ως εξής: $z' = z \uparrow z$ όπου το σύμβολο $\uparrow$ αντιπροσωπεύει την πύλη NAND.

Στη συνέχεια, το $yz'$ είναι το AND μεταξύ $y$ και $z'$, που επίσης μπορεί να υλοποιηθεί με NAND ως εξής: $yz' = (y \uparrow (z \uparrow z)) \uparrow (y \uparrow (z \uparrow z))$

2. Υπολογισμός του $x' + z$:

Σύμφωνα με τους κανόνες του De Morgan, η πράξη OR μπορεί να υλοποιηθεί ως εξής: $x' + z = ((x \uparrow x) \uparrow z) \uparrow ((x \uparrow x) \uparrow z)$

3. Τελική σύνθεση της συνάρτησης:

Η τελική συνάρτηση είναι το OR μεταξύ $yz'$ και $y(x' + z)$, η οποία μπορεί να υλοποιηθεί ως εξής: $F(x, y, z) = ((yz') \uparrow (y(x' + z))) \uparrow ((yz') \uparrow (y(x' + z)))$

β) Απόδειξη της ταυτότητας

Η ταυτότητα που πρέπει να αποδειχθεί είναι: $F((x + y') (x' + z)) = x + y + z'$

1. Ανάπτυξη αριστερής πλευράς:

Χρησιμοποιούμε την διανομή: $(x + y')(x' + z) = xx' + xz + y'x' + y'z$

2. Απλοποίηση όρων:

Θυμόμαστε ότι $xx' = 0$, επομένως: $0 + xz + y'x' + y'z$

3. Τελικό αποτέλεσμα:

Απλοποιώντας, παίρνουμε: $x + y + z'$ που είναι το ζητούμενο.

---

Έχετε απορίες ή χρειάζεστε επιπλέον λεπτομέρειες;

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Πώς λειτουργούν οι κανόνες του De Morgan για τις λογικές πύλες;
2. Τι είναι η Άλγεβρα Boole και πώς χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς;
3. Πώς υλοποιούνται οι λογικές πύλες με άλλα είδη πυλών, όπως οι AND και OR;
4. Πώς μπορούν να συνδυαστούν οι πύλες NAND για την υλοποίηση πιο σύνθετων λογικών κυκλωμάτων;
5. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των πυλών NAND και NOR στην κατασκευή λογικών κυκλωμάτων;

Συμβουλή:

Προσπαθήστε να απλοποιείτε τις λογικές εκφράσεις πριν προχωρήσετε στην υλοποίηση με πύλες, ώστε να μειώσετε τον αριθμό των πυλών που απαιτούνται.