Na obrázku jsou tři rovnice o třech neznámých $x$, $y$, a $z$:

1. $3x - 2y + 5z = -7$
2. $x + y + 7z = 4$
3. $2x + y - 6z = -6$

Teď vysvětlím tři metody, které můžeme použít k řešení těchto rovnic:

1. Dosazovací metoda

Dosazovací metoda spočívá v tom, že jednu z rovnic vyjádříme pomocí jedné proměnné a pak tuto vyjádřenou hodnotu dosadíme do ostatních rovnic.

Postup:

• Z druhé rovnice $x + y + 7z = 4$ můžeme například vyjádřit $x$: $x = 4 - y - 7z$
• Nyní dosadíme tento výraz pro $x$ do první a třetí rovnice:
  • První rovnice: $3(4 - y - 7z) - 2y + 5z = -7$
  • Třetí rovnice: $2(4 - y - 7z) + y - 6z = -6$
• Tím dostaneme dvě rovnice o dvou neznámých $y$ a $z$, které můžeme řešit dále.

2. Srovnávací metoda

Srovnávací metoda spočívá v tom, že z několika rovnic vyjádříme stejnou proměnnou a poté tyto výrazy porovnáme.

Postup:

• Například z první rovnice $3x - 2y + 5z = -7$ můžeme vyjádřit $x$: $x = \frac{-7 + 2y - 5z}{3}$
• Z druhé rovnice $x + y + 7z = 4$ můžeme také vyjádřit $x$: $x = 4 - y - 7z$
• Nyní porovnáme tyto dva výrazy: $\frac{-7 + 2y - 5z}{3} = 4 - y - 7z$
• Tím získáme rovnici, kterou lze vyřešit pro $y$ a $z$.

3. Sčítací (eliminační) metoda

Tato metoda spočívá v tom, že násobíme jednotlivé rovnice tak, aby se jedna proměnná odstranila, když rovnice sčítáme nebo odčítáme.

Postup:

• Vezmeme první dvě rovnice a budeme se snažit eliminovat například $x$. Násobíme druhou rovnici 3, aby koeficient $x$ byl stejný: $3(x + y + 7z = 4) \implies 3x + 3y + 21z = 12$
• Odečteme tuto rovnici od první rovnice: $(3x - 2y + 5z) - (3x + 3y + 21z) = -7 - 12$ $-5y - 16z = -19$
• Získáme rovnici $y$ a $z$, kterou můžeme řešit dále.

Chceš nějaký krok rozvést více, nebo máš otázky?

5 Další otázky:

1. Jak vypadá řešení pro metodu dosazovací, když vyřešíme první rovnici?
2. Jaká jsou další vhodná rozhodnutí při výběru proměnné pro dosazení?
3. Proč je eliminace často výhodnější pro větší soustavy rovnic?
4. Jakou metodu by bylo nejlepší použít v případě necelých čísel?
5. Jak poznáme, zda soustava má jediné řešení, žádné řešení, nebo nekonečně mnoho řešení?

Tip:

Před volbou metody vždy zvaž jednoduchost jednotlivých rovnic, například počet koeficientů proměnných.